Trên cây có chiều cao trung bình của cây máy bay được trồng bởi Knuth, de Bruijn và Rice (1972)

Tôi đang cố gắng rút ra bài báo kinh điển trong tiêu đề chỉ bằng các phương tiện cơ bản (không có chức năng tạo, không phân tích phức tạp, không phân tích Fourier) mặc dù với độ chính xác thấp hơn nhiều. Nói tóm lại, tôi "chỉ" muốn chứng minh rằng chiều cao trung bình của cây có nút (nghĩa là số nút tối đa từ gốc đến lá) thỏa mãn . $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

Các phác thảo như sau. Đặt là số cây có chiều cao nhỏ hơn hoặc bằng (với quy ước với mọi ) và số lượng cây của nút với chiều cao lớn hơn hoặc bằng (nghĩa là ). Sau đó , trong đó là tổng hữu hạn Người ta biết rằng $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ , đối với tập hợp các cây tổng quát có

n

$n$ nút nằm trong trạng thái ngẫu nhiên với tập hợp các cây nhị phân có các nút

n - 1

$n-1$ , được tính bằng số Catalan.

Do đó, bước đầu tiên là tìm $B_{nh}$ và sau đó là thuật ngữ chính trong việc mở rộng tiệm cận của $S_n$ .

Tại thời điểm này, các tác giả sử dụng tổ hợp phân tích (ba trang) để lấy

B_{n + 1, h - 1} = = \underset{k ⩾ 1}{Σ} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Nỗ lực của riêng tôi là như sau. Tôi xem xét sự chọn lựa giữa các cây với $n$ nút và đường đơn điệu trên lưới vuông $(n-1) \times (n-1)$ từ $(0,0)$ đến $(n-1,n-1)$ không đi qua đường chéo (và được thực hiện theo hai loại bước: $\uparrow$ và $\rightarrow$ ). Những con đường này đôi khi được gọi là đường dẫn Dyck hoặc du ngoạn . Bây giờ tôi có thể biểu thị $B_{nh}$ theo các đường dẫn mạng: đó là số đường dẫn Dyck có độ dài 2 (n-1) và chiều cao lớn hơn hoặc bằng $h$ . (Lưu ý: một cây có chiều cao $h$ đang trong tình trạng bị cấm với đường dẫn Dyck có chiều cao $h-1$ )

Không mất tính tổng quát, tôi giả sử rằng chúng bắt đầu bằng $\uparrow$ (do đó ở trên đường chéo). Đối với mỗi đường dẫn, tôi xem xét bước đầu tiên vượt qua đường $y = x + h - 1$ , nếu có. Từ điểm trên, tất cả các cách trở về điểm gốc, tôi thay đổi $\uparrow$ thành $\rightarrow$ và ngược lại (đây là một phản ánh ghi lại dòng $y=x+h$ ). Rõ ràng là các đường dẫn tôi muốn đếm ( $B_{nh}$ ) nằm trong mệnh đề với các đường dẫn đơn điệu từ $(-h,h)$ đến $(n-1,n-1)$ để tránh các ranh giới $y=x+2h+1$ và $y=x-1$ . (Xem hình .)

Trong cuốn sách kinh điển Lattice Path Count and Application của Mohanty (1979, trang 6), công thức đếm số lượng đường dẫn đơn điệu trong một mạng từ đến , để tránh ranh giới và , với và . (Kết quả này lần đầu tiên được các nhà thống kê Nga thiết lập vào những năm 50.) Do đó, bằng cách xem xét một nguồn gốc mới tại , chúng tôi đáp ứng các điều kiện của công thức: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ và điểm đích (góc trên bên phải) hiện tại . Sau đó, Điều này có thể được đơn giản hóa trong lần lượt, tương đương với Sự khác biệt với công thức dự kiến là tôi tính tổng các số lẻ ( ), thay vì tất cả các số nguyên dương ( ).

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

Bất cứ ý tưởng vấn đề là ở đâu?

— Cơ đốc giáo
nguồn

Bạn nói rằng bạn chỉ muốn sử dụng những thứ cơ bản, nhưng bạn sử dụng kết quả từ một cuốn sách. Làm thế nào để Mohanty có được danh tính bạn sử dụng?

— Raphael

Tôi định nghĩa trong câu đầu tiên ý của tôi là "cơ bản": không tạo hàm, không phân tích phức tạp, không phân tích Fourier. Trong cuốn sách của mình, Mohanty sử dụng các phương tiện cơ bản để rút ra công thức đó, chính xác hơn là các nguyên tắc phản ánh và loại trừ - bao gồm trên các đường dẫn mạng. (Tôi sử dụng trước đây.) Nếu bạn nhấn mạnh, tôi sẽ thêm bằng chứng của anh ấy vào cuối câu hỏi.

— Christian

Không hề, chỉ muốn chắc chắn rằng bạn không tự mình phá vỡ quy tắc của mình.

— Raphael

Đối với tôi, thật kỳ lạ khi thấy 'các hàm tạo' được liệt kê là một kỹ thuật phi cơ bản khi tổ hợp phân tích rõ ràng được coi là sơ cấp. có vẻ như là một giá trị gần như không phải là cơ bản; bạn có ví dụ như một bằng chứng so sánh về sự không triệu chứng của hệ số nhị thức trung tâm để cho cảm nhận rõ hơn về những gì bạn đang tìm kiếm không? Tôi nghi ngờ hai người có liên quan mật thiết với nhau ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— Steven Stadnicki

Các đường dẫn đơn điệu từ đến mà bạn xây dựng chỉ tránh được những ranh giới trước khi họ qua cho lần đầu tiên. Do đó, công thức bạn sử dụng không được áp dụng. $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— FrankW
nguồn