Độ phức tạp thời gian của thuật toán này là gì? Và tại sao?

Tôi bị mắc kẹt bằng cách phân tích độ phức tạp thời gian của thuật toán sau:

def fun (r, k, d, p):
    if d > p:
        return r
    if d = 0 and p = 0:
        r <- r + k
        return r
    if d > 0:
        fun (r, k + 1, d - 1, p)
    if p > 0:
        fun (r, k - 1, d, p - 1)

Cuộc gọi gốc sẽ là fun (0, 0, n, n), và nlà kích thước của vấn đề.

Tôi đoán rằng: Mối quan hệ lặp lại là , tương đương với và do đó O (2 ^ m) \ iff O (4 ^ n) .T ( 2 n ) = 2 T ( 2 n - 1 $T(n, n) = T(n-1, n) + T(n, n-1)$O ( 2 m$T(2n) = 2T(2n-1) \iff T(m) = 2T(m - 1)$$O(2^m) \iff O(4^n)$

Phân tích của tôi có đúng không (tôi biết nó không đầy đủ và chính xác)? Nếu nó có lỗi nghiêm trọng, xin vui lòng chỉ ra hoặc cho tôi thấy một bằng chứng chính xác và đầy đủ về độ phức tạp thời gian của thuật toán này.

Hai đối số duy nhất liên quan đến phân tích tiệm cận là và . Các đối số này (hầu như) thỏa mãn và (chúng ta cần xáo trộn logic trong hàm một chút để có được điều này). Tại mỗi điểm trong quá trình thực thi, bạn lấy cặp hiện tại và sau đó gọi đệ quy hàm với các cặp , tránh các cặp làm mất hiệu lực các ràng buộc đã nêu ở trên .p d , p ≥ 0 d ≤ p ( d , p ) ( d - 1 , p ) , ( d , p - 1 $d$$p$$d,p \geq 0$$d \leq p$$(d,p)$$(d-1,p),(d,p-1)$

Chúng ta có thể hình dung cây cuộc gọi kết quả là một đường dẫn bắt đầu từ . Mỗi lần bạn giảm , hãy thêm một bước. Mỗi lần bạn giảm , hãy thêm một bước. Điều kiện đảm bảo rằng bạn không bao giờ đi dưới trục X. Hơn nữa, bạn có một "ngân sách" của mỗi bước. Tổng số lá trong cây gọi này chính xác là số Catalan và điều này mang lại cho chúng ta giới hạn dưới về thời gian chạy của hàm.p d d ≤ p n ( 2 $(0,0)$$p$$d$$d \leq p$$n$$\binom{2n}{n}/(n+1) = \Theta(4^n/n^{3/2})$

Để có giới hạn trên, lưu ý rằng trên đường tới mỗi lá, chúng ta đi qua nút và điều này cho giới hạn trên lớn hơn giới hạn dưới, nghĩa là .$2n$$2n$$\Theta(4^n/\sqrt{n})$

Chúng tôi có giới hạn dưới là và giới hạn trên của . Các tiệm cận chính xác là gì? Chúng phát triển giống như tổng số đường không đi qua trục X có nhiều nhất bước theo mỗi hướng. Sử dụng định lý lá phiếu của Bertrand, chúng ta có thể có được một biểu thức chính xác cho điều này: Do đó, vẫn còn để ước tính số tiền này không có triệu chứng: $\Omega(4^n/n^{3/2})$$O(4^n/\sqrt{n})$∑ 0 ≤ d ≤ p ≤ n p - d + $n$∑0≤d≤p≤n ( p+

$$\sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \frac{p-d+1}{p+1} \binom{p+d}{p}.$$ $$\sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p} - \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \frac{d}{p+1} \binom{p+d}{d} = \\ \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p} - \sum_{0 \leq d \leq p \leq n} \binom{p+d}{p+1} = \\ \sum_{p=0}^n \binom{2p+1}{p+1} - \sum_{p=0}^n \binom{2p+1}{p+2} = \\ \sum_{p=0}^n \frac{1}{p+1} \binom{2p+2}{p} = \Theta\left(\sum_{p=0}^n \frac{4^p}{p^{3/2}}\right) = \Theta\left(\frac{4^n}{n^{3/2}}\right).$$

Từng trường hợp:

1. d> p : Liên tục thời gian
2. d = 0 ∧ p = 0 : Liên tục thời gian
3. d> 0 : Lưu ý rằng d ≯ p, vì vậy chúng ta có 0 <d ≤ p và funđệ quy trên d - 1 cho đến khi d ≯ 0; vì p> 0, đây là tuyến tính trong d + (trường hợp 4) .
4. p> 0 : Lưu ý rằng d 0, vì vậy chúng ta có d ≤ 0 p (với d <p) và funđệ quy trên p - 1 cho đến khi p 0; đây là tuyến tính trong p + (một trong trường hợp 1, 2 hoặc 5)
5. d ≤ p <0 : Không xác định; Tôi giả định này là hằng số thời gian

Bắt đầu với d = p = n> 0 lần truy cập trường hợp 3, tiếp theo là trường hợp 4. Nếu n là một số nguyên, trường hợp cuối cùng là 2, nếu không thì trường hợp cuối cùng là 5. Tổng thời gian cho các trường hợp đó là d + p +1 hoặc 2n + 1.