Thuật toán khớp chuỗi k không khớp nhanh

Tôi đang tìm kiếm một thuật toán khớp chuỗi k-không khớp nhanh. Cho một chuỗi mẫu P có độ dài m và chuỗi văn bản T có độ dài n, tôi cần một thuật toán nhanh (thời gian tuyến tính) để tìm tất cả các vị trí trong đó P khớp với một chuỗi con của T với tối đa k không khớp. Điều này khác với vấn đề khác biệt k (chỉnh sửa khoảng cách). Một sự không phù hợp ngụ ý chuỗi con và mẫu có một chữ cái khác nhau ở hầu hết các vị trí k. Tôi thực sự chỉ yêu cầu k = 1 (nhiều nhất là 1 không khớp), vì vậy một thuật toán nhanh cho trường hợp cụ thể của k = 1 cũng sẽ đủ. Kích thước bảng chữ cái là 26 (văn bản tiếng Anh không phân biệt chữ hoa chữ thường), do đó, yêu cầu không gian không nên tăng quá nhanh với kích thước của bảng chữ cái (ví dụ: thuật toán FAAST, tôi tin rằng, chiếm không gian theo kích thước của bảng chữ cái, và vì vậy chỉ phù hợp cho trình tự protein và gen).

Một cách tiếp cận dựa trên lập trình động sẽ có xu hướng là O (mn) trong trường hợp xấu nhất, sẽ quá chậm. Tôi tin rằng có những sửa đổi của thuật toán Boyer-Moore cho việc này, nhưng tôi không thể có được những bài báo như vậy. Tôi không có đăng ký để truy cập các tạp chí học thuật hoặc ấn phẩm, vì vậy mọi tài liệu tham khảo sẽ phải thuộc phạm vi công cộng.

Tôi sẽ đánh giá rất cao bất kỳ con trỏ, hoặc tham chiếu đến các tài liệu có sẵn miễn phí, hoặc chính thuật toán cho vấn đề này.

Mảng hậu tố có thể được sử dụng cho vấn đề này. Chúng chứa các vị trí bắt đầu của mỗi hậu tố của chuỗi được sắp xếp theo thứ tự từ điển. Mặc dù chúng có thể được xây dựng một cách ngây thơ trong phức tạp, có những phương pháp để xây dựng chúng trong Θ ( n ) phức tạp. Xem ví dụ này và này . Hãy để chúng tôi gọi mảng hậu tố SA.$O(n\log n)$$\Theta(n)$

Khi mảng hậu tố đã được xây dựng, chúng ta cần xây dựng mảng Tiền tố chung dài nhất (LCP) cho mảng hậu tố. Mảng LCP lưu trữ độ dài của tiền tố chung dài nhất giữa hai tiền tố liên tiếp trong mảng hậu tố (hậu tố từ vựng liên tiếp). Do đó, LCP [i] chứa độ dài của tiền tố phổ biến dài nhất giữa SA [i] và SA [i + 1]. Mảng này cũng có thể được xây dựng trong thời gian tuyến tính: xem ở đây , ở đây và ở đây để biết một số tài liệu tham khảo tốt.

Bây giờ, để tính độ dài của tiền tố dài nhất phổ biến cho bất kỳ hai hậu tố nào trong cây hậu tố (thay vì các hậu tố liên tiếp), chúng ta cần sử dụng một số cấu trúc dữ liệu của RMQ . Nó đã được hiển thị trong các tham chiếu ở trên (và có thể dễ dàng nhìn thấy nếu mảng được hiển thị dưới dạng cây hậu tố), rằng độ dài của tiền tố chung dài nhất giữa hai hậu tố có vị trí và v ( u < v ) trong mảng hậu tố , có thể thu được là m i n u < = k < = v - 1 L C P [ k $u$$v$$u < v$$min_{u<=k<=v-1}{LCP[k]}$. Một RMQ tốt có thể xử lý trước mảng trong thời gian O ( n ) hoặc O ( n log n ) và trả lời các truy vấn có dạng L C P [ u , v ] trong thời gian O ( 1 ) . Xem ở đây để biết thuật toán RMQ succint và ở đây để có hướng dẫn tốt về RMQ, và mối quan hệ (và mức giảm) giữa LCA và RMQ. Điều này có một cách tiếp cận thay thế tốt đẹp.$LCP$$O(n)$$O(n\log n)$$LCP[u, v]$$O(1)$

Với thông tin này, chúng tôi xây dựng mảng hậu tố và các mảng liên quan (như được mô tả ở trên) để nối hai chuỗi với một dấu phân cách ở giữa (chẳng hạn như T # P, trong đó '#' không xảy ra trong một trong hai chuỗi). Sau đó, chúng ta có thể thực hiện khớp chuỗi k không khớp bằng phương pháp "kangaroo". Điều này và điều này giải thích phương pháp kangaroo trong bối cảnh của cây hậu tố, nhưng cũng có thể được áp dụng trực tiếp cho mảng hậu tố. Với mọi chỉ số của văn bản T , hãy tìm L C P của hậu tố T bắt đầu từ i và hậu tố của $i$$T$$LCP$$T$$i$$P$bắt đầu từ 0. Điều này cho biết vị trí sau đó xảy ra sự không khớp đầu tiên khi khớp với T [ i ] . Đặt độ dài này là l 0 . Bỏ qua ký tự không khớp trong cả T và P và cố gắng khớp các chuỗi còn lại. Nghĩa là, một lần nữa tìm L C P của T [ i + l 0 + 1 ] và P [ l 0 + 1 ] . Lặp lại điều này cho đến khi bạn có được k không khớp hoặc kết thúc chuỗi. Mỗi$P$$T[i]$$l_0$$T$$P$$LCP$$T[i + l_0 + 1]$$P[l_0 + 1]$$k$ là O ( 1 ) . Có O ( k ) L C P 'cho mỗi chỉ số i của T , tạo ra tổng độ phức tạp của O ( n k ) .$LCP$$O(1)$$O(k)$ $LCP$$i$$T$$O(nk)$

Tôi đã sử dụng một cách dễ dàng hơn để thực hiện RMQ với tổng độ phức tạp của log hoặc O ( n k + n log n ) nếu m = O ( n ) , nhưng nó có thể được thực hiện trong O ( n k ) như mô tả ở trên. Có thể có các phương pháp trực tiếp khác cho vấn đề này, nhưng đây là một cách tiếp cận mạnh mẽ và chung chung có thể được áp dụng cho rất nhiều vấn đề tương tự.$O(nk + (n+m)\log(n+m))$$O(nk + n\log n)$$m = O(n)$$O(nk)$

Dưới đây là một thuật toán dự kiến ( có thể được mở rộng sang k khác , làm cho nó trở thành O ( n k + m ) ). (Tôi đã không thực hiện các tính toán để chứng minh rằng nó là như vậy, mặc dù).$\mathcal{O}(n + m )$$k$$\mathcal{O}(nk +m )$

Ý tưởng này tương tự như thuật toán băm cán Rabin-Karp cho các kết hợp chuỗi con chính xác.

Ý tưởng là để tách mỗi chuỗi có độ dài vào 2 k khối m / 2 k kích thước mỗi và tính toán hash lăn cho mỗi khối (cho 2 k giá trị hash) và so sánh những 2 k giá trị băm chống lại một từ mô hình.$m$$2k$$m/2k$$2k$$2k$

Chúng tôi cho phép tối đa không khớp trong các giá trị đó.$k$

Nếu có nhiều hơn không khớp xảy ra, chúng tôi từ chối và tiếp tục. Nếu không, chúng tôi cố gắng và xác nhận một trận đấu gần đúng.$k$

Tôi mong đợi (báo trước: tôi đã không thử nó) điều này có thể sẽ nhanh hơn trong thực tế và có thể dễ dàng viết mã / bảo trì hơn là sử dụng cách tiếp cận dựa trên cây hậu tố.