Định nghĩa của

Tôi đang làm việc trong sách giáo khoa Thuật toán CLRS phiên bản thứ 3 và trong Chương 3, một cuộc thảo luận bắt đầu về ký hiệu tiệm cận bắt đầu bằng $\Theta$ký hiệu. Tôi hiểu định nghĩa ban đầu của:

Nhưng sau đó trên trang tiếp theo, văn bản nói rằng:

Định nghĩa của $\Theta(g(n))$ yêu cầu mọi thành viên $f(n) \in \Theta(g(n))$ không có triệu chứng là không âm, nghĩa là $f(n)$ bất khả xâm phạm bất cứ khi nào $n$là đủ lớn. (Một hàm dương không có triệu chứng là một hàm dương cho tất cả đủ lớn$n$.) Do đó, hàm g (n) phải là không có triệu chứng, nếu không thì tập hợp $\Theta(g(n))$ trống rỗng

Đó là phần cuối cùng về cách thức nếu hàm âm $\Theta(g(n))$là trống rỗng và yêu cầu chung của một chức năng tích cực là loại khó hiểu. Bất cứ ai có thể làm rõ định nghĩa này cho tôi và ý nghĩa của nó, có thể với một ví dụ, nó sẽ được đánh giá cao.

Đây chỉ là một kỹ thuật. Trong phân tích tiệm cận, chúng tôi chỉ "thực sự" quan tâm đến các chức năng tích cực như$n^3$ hoặc là $n\log n$. Tuy nhiên, nếu chúng ta muốn rất trang trọng và chung chung, chúng ta có thể tính đến các chức năng không tích cực (và điều đó có thể biến nó thành hữu ích, xem bên dưới). Định nghĩa của$\Theta$ tình trạng $f(n) = \Theta(g(n))$ nếu từ một số điểm trên, $f(n)/g(n)$ được giới hạn từ cả hai phía bởi hằng số, và hơn nữa $g(n) \geq 0$. (Đó là những gì bạn nhận được nếu bạn hủy đăng ký định nghĩa.) Đặc biệt, nếu$f(n) = \Theta(g(n))$, sau đó từ một số điểm, $g$ là không âm.

Đây là một định nghĩa thay thế lớn $\Theta$. Giả sử$f,g \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$là những chức năng tích cực , đó là$f(n),g(n)>0$. Sau đó$f(n) = \Theta(g(n))$ nếu tồn tại hằng số dương $c_1,c_2$ như vậy mà $c_1 \leq f(n)/g(n) \leq c_2$. Tôi không biết tại sao định nghĩa phức tạp hơn được trình bày trong các văn bản giới thiệu.

Những lợi thế của định nghĩa phức tạp hơn là gì? Nó có thể xử lý các hàm có một số giá trị không dương (phải có một số hữu hạn trong số chúng). Ví dụ: định nghĩa này chứa câu lệnh (true)$n-10 = \Theta(2n-30\log n)$. Mặc dù các chức năng gặp phải trong thực tế thường là tích cực, đôi khi các chức năng tiêu cực có thể gặp phải: ví dụ: giả sử chúng tôi quan tâm đến một số chức năng phức tạp thực sự$k$và chúng tôi ước tính nó từ bên dưới bởi một hàm $t$, đó là tiêu cực cho nhỏ $n$.

Tại sao $\Theta(g)$ có thể trống

Nó theo trực tiếp từ định nghĩa.

Phần quan trọng ở đây là: $f(n) | \exists\, c_1 > 0: 0 \leq c_1 g(n)$

Rõ ràng, sự hạn chế về $f$ (như bây giờ, nó thậm chí không phụ thuộc vào $f$), tình trạng $g$ nhân với một số hằng số tích cực $c_1$ bản thân nó phải tích cực (đối với các giá trị lớn của $n$, ngụ ý từ đây về sau ).

Tất nhiên nếu $g$ không hoàn toàn tích cực, ràng buộc này sẽ ngăn chặn tất cả các chức năng có thể $f$ từ việc là thành viên của bộ $\Theta(g)$.

Theo sau đó một bộ như vậy sẽ trống rỗng.

Cho tất cả $f \in \Theta(g)$, $f$ là hoàn toàn tích cực

Điều này cũng theo trực tiếp từ cùng một phần của định nghĩa: $f(n) | \dots : 0 \leq f(n)$

Rõ ràng, nếu $f$ không hoàn toàn tích cực, điều kiện không được đáp ứng, do đó không có $f$ có thể được chứa trong $\Theta(g)$.

Lưu ý : Tôi không hoàn toàn chắc chắn những gì không rõ ràng với bạn, bởi vì tất cả những gì bạn viết là "khó hiểu".