Độ cứng và hướng giảm

Hãy để chúng tôi nói rằng chúng tôi biết rằng vấn đề A là khó khăn, sau đó chúng tôi giảm A thành vấn đề B chưa biết để chứng minh B cũng khó khăn.

Một ví dụ: chúng ta biết 3 màu là khó. Sau đó, chúng tôi giảm 3 màu thành 4 màu. Bằng cách kết hợp một trong các màu trong 3 màu, bạn có 4 màu, ergo 4 màu rất khó.

Đó là cách làm. Nhưng tại sao đây là một bằng chứng cho thấy 4 màu là khó? Có phải là bạn có thể sử dụng giải pháp cho vấn đề 4 màu để giải quyết vấn đề 3 màu? Nếu vậy thì thế nào? Nếu không, tại sao nó là một bằng chứng hợp lệ?

Tiền thưởng q: Phải giảm các đa thức có thể đi theo cả hai cách?

Chỉnh sửa: nếu bạn có thể giải thích lý do tại sao điều này là như vậy bằng một ví dụ bạn sẽ làm cho internet một lợi ích. Tôi không thể tìm thấy điều này được giải thích một cách cụ thể ở bất cứ đâu.

Giảm từ một vấn đề đến một vấn đề khác là một sự chuyển đổi của bất kỳ trường hợp của thành một ví dụ của , sao choB f a A f ( a ) $A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Nếu là một phép biến đổi duy trì độ phức tạp mà bạn quan tâm (ví dụ là phép biến đổi đa thức nếu bạn xem xét -hardness) thì sự tồn tại của thuật toán giải ngụ ý sự tồn tại của thuật toán giải : Nó đủ để chạy , sau đó .f N P A B B A f A$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Do đó sự tồn tại của một giảm như vậy từ đến có nghĩa rằng không phải là dễ dàng hơn . Không cần thiết phải giảm theo cách khác.B B $A$$B$$B$$A$

Ví dụ, để tô màu đồ thị. Bạn có thể giảm 3 màu thành 4 màu nhưng không phải là cách ngay lập tức. Nếu bạn lấy đồ thị và bạn chọn thì bạn sẽ có nhưng bạn không có . Kết luận là sự tương đương không được tôn trọng, vì vậy là không giảm.f ( G ) = G x ∈ 3 C O L ⇒ f ( x ) ∈ 4 C O L f ( x ) ∈ 4 C O L ⇒ x ∈ 3 C O L ( E ) $G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$$(E)$$f$

Bạn có thể xây dựng một mức giảm chính xác từ xuống nhưng phức tạp hơn một chút: đối với bất kỳ đồ thị , hãy để là đồ thị mở rộng với một nút khác liên kết với một cạnh với mọi nút khác.$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• Sự biến đổi là bảo tồn phức tạp (đa thức, ở đây);
• nếu ở trong thì nằm trong : chỉ cần sử dụng màu thứ tư cho ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• nếu là trong sau đó bạn có thể chứng minh rằng tất cả các nút trừ có màu đó không phải là 's, do đó là trong .$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

Điều đó chứng tỏ rằng là mức giảm và khó hơn . Bạn có thể chứng minh giống như cách khó hơn cho bất kỳ nào , bằng chứng thú vị về thực tế là khó hơn bất kỳ .4 C O L 3 C O L n C O L m C O L n ≥ m 3 C O L n C O $f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$