Là

Tôi đã lấy lý thuyết về các kỳ thi tính toán của tôi vài tuần trước, và đây là một trong những câu hỏi:

Giả sử ngôn ngữ $L=\{(a^nb^m)^r \mid n,m,r\ge 0\}$

L có thường xuyên không? Nếu có cung cấp một biểu thức chính quy hoặc một máy tự động cho nó.

Sau khi tôi hỏi ông một thời gian ngắn câu trả lời sau khi thi, dường như nó thực sự là bình thường (tôi tin rằng ông nói sự biểu hiện là đơn giản ). Tuy nhiên tôi dường như không thể hiểu tại sao lại như vậy. Cách tôi nhìn thấy nó, nó nối liền một n b m r lần, như thế này:$(a^*b^*)^*$$a^nb^m$

,$a^nb^ma^nb^ma^nb^m...a^nb^ma^nb^m$

vốn không thường xuyên vì không có cách nào để máy tự động gọi lại n và m mỗi lần. Tôi có lỗi ở đâu?

EDIT: Tôi đã nói chuyện với giáo sư một lần nữa, anh ấy thừa nhận đó là một sai lầm. Ngôn ngữ thực sự không thường xuyên.

Ngôn ngữ không thường xuyên, như có thể được chứng minh bằng phương pháp của Nerode. Hãy xem xét những lời sau đây w n = một n b cho n ∈ N . Sau đó, w 2 n ∈ L , nhưng đối với n ≠ m , w n w m ∉ L . Do đó, bất kỳ thiết bị tự động nào cho L phải ở trạng thái khác sau khi đọc từng w n , điều này mâu thuẫn với độ chính xác của nó.$L$$w_n = a^n b$$n \in \mathbb{N}$$w_n^2 \in L$$n \neq m$$w_n w_m \notin L$$L$$w_n$

Trong bình luận của bạn, bạn gợi ý rằng bạn (trích dẫn) "đã đưa ra sự từ chối bổ đề cho , nói điều tương tự được áp dụng cho r lớn hơn ".$r=2$$r$

Điều này thực sự có thể được chính thức hóa bằng cách áp dụng một tài sản đóng cửa. Các ngôn ngữ thông thường được đóng dưới giao lộ. Vì vậy, nếu là bình thường, sau đó như vậy sẽ được L ∩ một * b một * b = { một n b một n b | n ≥ 0 } , thiết lập một cách hiệu quả r = 2 và m = 1 .$L$$L\cap a^*ba^*b = \{ a^n b a^n b \mid n\ge 0\}$$r=2$$m=1$

Ngôn ngữ: {(a ⁿ b ^m ) ^r | n, m, r≥0} là không thường xuyên, bởi vì trong khi automaton / máy đọc trình tự đầu tiên của chữ 'a' và sau đó chữ 'b', nó cần phải đếm số lần nó đọc chữ 'a' và số lần nó đọc chữ 'b' trong chuỗi đầu tiên để biết giá trị của n và m .

Nếu r> 1 thì khác cùng chuỗi các chữ cái 'a' và chữ 'b' được mong đợi.

Nếu máy tự động / máy không biết có bao nhiêu chữ cái 'a' và chữ cái 'b' nó đọc trong chuỗi đầu tiên thì nó cũng không biết giá trị của n và m và do đó nó không biết nếu các chuỗi khác từ thứ hai đến cuối cùng là các từ bằng với chuỗi đầu tiên.

Nhưng người ta biết rằng chỉ có máy Turing mới có thể đếm và biết các giá trị của n và m và nhận ra ngôn ngữ ở trên, do đó, không chỉ ngôn ngữ ở trên không phải là thông thường, mà ngay cả nó cũng không phải là ngữ cảnh, tức là cũng không không tồn tại tự động đẩy xuống để nhận ra ngôn ngữ này và không tồn tại ngữ pháp tự do ngữ cảnh mà mỗi từ xuất phát từ ngữ pháp tự do ngữ cảnh đó nằm trong ngôn ngữ trên.

Bởi vì thực tế là cả máy tự động hữu hạn xác định và máy tự động hữu hạn đẩy đều không đếm và biết các giá trị của n và m , không giống như máy Turing, chúng không nhận ra ngôn ngữ trên và do đó ngôn ngữ trên không phải là ngữ cảnh và không thường xuyên.

Ví dụ cho giả định rằng ngôn ngữ trên là chính quy:

Với n = 3 ∧ m = 5 ∧ r = 2 , từ sau có trong ngôn ngữ trên:

aaabbbbbaaabbbbb

Nhưng từ sau không có trong ngôn ngữ:

aaabbbbbaaaaabbb, vì không tồn tại n, m và r nên:

(a ⁿ b ^m ) ^r = aaabbbbbaaaaabbb, vì để thỏa mãn chuỗi chữ cái đầu tiên 'a' và sau đó là chữ cái 'b', phải đúng là n = 3 m = 5 và bởi vì chúng ta thấy 2 chuỗi chữ cái ' a 'và sau đó là chữ cái' b ', sau đó r = 2 , nhưng nếu n = 3 ∧ m = 5 ∧ r = 2 thì (a ⁿ b ^m ) ^r = (a ³ b ⁵ ) ² = (aaabbbbb) ² = aaabbbbbaaabbbbb ≠ aaabbbbbaaaaabbb, vì hậu tố của chúng khác nhau, tức là aaabbbbb ≠ aaaaabbb, mặc dù tiền tố của chúng bằng aaabbbbb cho r = 1.

Máy tự động hữu hạn xác định "tốt nhất" có thể được xây dựng cho ngôn ngữ này là máy tự động hữu hạn xác định nhận ra biểu thức chính quy (a * b *) *, nhưng nó không nhận ra ngôn ngữ trên, vì nó nói rằng cả hai từ aaabbbbbaaabbbbb và aaabbbbbaaaaabbb là ngôn ngữ và điều này không đúng, bởi vì aaabbbbbaaabbbbb là ngôn ngữ, nhưng aaabbbbbaaaaabbb không phải là ngôn ngữ.

Ngay cả tự động đẩy xuống hữu hạn cũng không thể biết cả hai từ có trong ngôn ngữ hay không, vì vậy chỉ có máy Turing mới có thể.

Trong chuỗi thứ hai, máy Turing thấy rằng n = 5 m = 3 và điều này mâu thuẫn với trình tự thứ nhất, nó thấy rằng n = 3 m = 5 , vì vậy nó nói rằng từ thứ hai không có trong ngôn ngữ , nhưng không có mâu thuẫn được tìm thấy trong từ đầu tiên.

Cả hai chuỗi đều thỏa mãn rằng n = 3 ∧ m = 5 , vì vậy máy Turing nói rằng từ đầu tiên có trong ngôn ngữ.

Chỉ máy Turing mới có thể, nếu nó đếm và ghi nhớ các giá trị của n và m bằng cách viết giá trị của chúng lên băng và sau đó đọc chúng.