Những gì hiện

Những gì hiện $\log^{O(1)}n$ trung bình?

Tôi biết về ký hiệu big-O, nhưng ký hiệu này không có ý nghĩa với tôi. Tôi cũng không thể tìm thấy bất cứ điều gì về nó, bởi vì không có cách nào công cụ tìm kiếm diễn giải điều này một cách chính xác.

Đối với một chút bối cảnh, câu mà tôi tìm thấy nó đọc "[...] chúng ta gọi một hàm [hiệu quả] nếu nó sử dụng không gian và nhiều nhất là log O ( 1 ) n cho mỗi mục."$O(\log n)$$\log^{O(1)}n$

Bạn cần bỏ qua một lúc cảm giác mạnh mẽ rằng chữ " " ở sai vị trí và tiếp tục với định nghĩa bất kể. f ( n ) = log O ( 1 ) n phương tiện đó có tồn tại các hằng số k và n 0 như vậy mà, cho tất cả n ≥ n 0 , f ( n ) ≤ log k ⋅ 1 n = log $O$$f(n) = \log^{O(1)}n$$k$$n_0$$n\geq n_0$ .$f(n) \leq \log^{k\cdot 1}n = \log^k n$

Lưu ý rằng có nghĩa là ( log n ) k . Các hàm của biểu mẫu nhật ký O ( 1 ) n thường được gọi là polylogarithmic và bạn có thể nghe người ta nói, " f là polylog  n ."$\log^k n$$(\log n)^k$$\log^{O(1)}n$$f$$n$

Bạn sẽ nhận thấy rằng thật dễ dàng để chứng minh rằng , vì 2 n ≤ k n với mọi n ≥ 0 , trong đó k = 2 . Bạn có thể tự hỏi nếu 2 log n = log O ( 1 ) n . Câu trả lời là có bởi vì, cho đủ lớn n , log n ≥ 2 , vì vậy 2 log n ≤ log $2n=O(n)$$2n\leq k n$$n\geq 0$$k=2$$2\log n = \log^{O(1)}n$$n$$\log n\geq 2$ cho đủ lớn $2\log n \leq \log^2n$ .$n$

Trên một lưu ý liên quan, bạn sẽ thường thấy các đa thức được viết là : cùng một ý tưởng.$n^{O(1)}$

Đây là sự lạm dụng ký hiệu có thể được hiểu theo quy ước giữ chỗ thường được chấp nhận : bất cứ khi nào bạn tìm thấy một thuật ngữ Landau , hãy thay thế nó (trong tâm trí của bạn hoặc trên giấy) bằng một hàm tùy ý g ∈ O ( f ) .$O(f)$$g \in O(f)$

Vì vậy, nếu bạn tìm thấy

$\qquad f(n) = \log^{O(1)} n$

bạn phải đọc

với một số g ∈ O ( 1 ) $\qquad f(n) = \log^{g(n)} n$$g \in O(1). \hspace{5cm} (1)$

Lưu ý sự khác biệt từ nói " với sức mạnh của một số liên tục": g = n ↦ 1 / n là một khả năng riêng biệt.$\log$$g = n \mapsto 1/n$

Cảnh báo: Tác giả có thể đang sử dụng nhiều lạm dụng ký hiệu và muốn bạn đọc

đối với một số g ∈ O ( 1 ) $\qquad f(n) \in O(\log^{g(n)} n)$$g \in O(1). \hspace{4.3cm} (2)$

Note the difference between (1) and (2); while it works out to define the same set of positive-valued functions here, this does not always work. Do not move $O$ around in expressions without care!

It means that the function grows at most as $\log$ to the power of some constant, i.e. $\log^2(n)$ or $\log^5(n)$ or $\log^{99999}(n)$...

"At most $\log^{O(1)} n$" means that there is a constant $c$ such that what is being measured is $O(\log^c n)$.

In a more general context, $f(n) \in \log^{O(1)} n$ is equivalent to the statement that there exists (possibly negative) constants $a$ and $b$ such that $f(n) \in O(\log^a n)$ and $f(n) \in \Omega(\log^b n)$.

It is easy to overlook the $\Omega(\log^b n)$ lower bound. In a setting where that would matter (which would be very uncommon if you're exclusively interested in studying asymptotic growth), you shouldn't have complete confidence that the author actually meant the lower bound, and would have to rely on the context to make sure.

The literal meaning of the notation $\log^{O(1)} n$ is doing arithmetic on the family of functions, resulting in the family of all functions $\log^{g(n)} n$, where $g(n) \in O(1)$. This works in pretty much the same as how multiplying $O(g(n))$ by $h(n)$ results in $O(g(n) h(n))$, except that you get a result that isn't expressed so simply.

Since the details of the lower bound are in probably unfamiliar territory, it's worth looking at some counterexamples. Recall that any $g(n) \in O(1)$ is bounded in magnitude; that there is a constant $c$ such that for all sufficiently large $n$, $|g(n)| < c$.

When looking at asymptotic growth, usually only the upper bound $g(n) < c$ matters, since, e.g., you already know the function is positive. However, in full generality you have to pay attention to the lower bound $g(n) > -c$.

This means, contrary to more typical uses of big-oh notation, functions that decrease too rapidly can fail to be in $\log^{O(1)} n$; for example,

A counterexample of a somewhat different sort is that $-1 \notin \log^{O(1)} n$.