Tìm một vỏ bọc tối thiểu của một tập hợp con của một sản phẩm cartes hữu hạn bằng các sản phẩm cartesian

Đưa ra một tập hợp con của một sản phẩm cartesian của hai bộ hữu hạn, tôi muốn tìm một vỏ bọc tối thiểu của nó bằng các bộ là chính các sản phẩm của cartesian. $I \times J$

Ví dụ: được cung cấp một sản phẩm giữa và , tôi có thể quan sát tập hợp con và cố gắng che nó bằng một số lượng tối thiểu các sản phẩm cartesian. $I=\{A,B,C\}$ $J=\{1,2,3\}$ $\{(A,2), (B,3), (B,2)\}$

Hai cách để làm như vậy là và , cả hai đều yêu cầu 2 sản phẩm. Một giải pháp tối ưu phụ có thể chia nó thành 3 sản phẩm tầm thường. $\{A\} \times \{2\} + B \times \{2,3\}$ $\{A,B\}\times \{2\} + \{B\}\times \{3\}$

Một vỏ bọc tối ưu như vậy có thể được tìm thấy một cách hiệu quả (ví dụ, trong thời gian đa thức)?

algorithms set-cover

— yuvalm2
nguồn

nhắc nhở tôi về vấn đề này, "tham gia cartesian của vectơ bit" (cstheory.SE, diễn đạt khác nhiều) có liên quan đến giới hạn lý thuyết mạch thấp hơn. vấn đề của bạn phát sinh trong bối cảnh nào?

— vzn

Bối cảnh của tôi là an ninh mạng. Trong một mạng lớn có nhiều máy chủ, chính sách bảo mật sẽ xác định chính sách nào có thể nói với. Nếu một chính sách như vậy được xây dựng tăng dần trong một khoảng thời gian dài, (như thường lệ), việc mô tả chính sách bảo mật có thể được đơn giản hóa bằng cách hợp nhất các quy tắc bảo mật lại với nhau. Tôi muốn tìm một đơn giản hóa tối ưu như vậy.

— yuvalm2

Có phải chỉ có số lượng sản phẩm bạn muốn giảm thiểu? Nếu vậy, có gì sai khi sử dụng làm trang bìa của bạn? Điều đó sẽ bao gồm mọi thứ trong tập hợp con của bạn (và một số nữa). Bạn có yêu cầu rằng giải pháp không chỉ bao gồm tập hợp con, mà còn phải tránh bao gồm bất cứ điều gì bên ngoài tập hợp con?

I \times J

$I \times J$

— DW

Ngoài ra, vì điều này xuất phát từ một ứng dụng thực tế (và vì vậy bạn có thể đang tìm kiếm các giải pháp thực tế), bạn có thể đưa ra ý nghĩa về kích thước tham số điển hình không? ví dụ: kích thước điển hình của,và tập hợp con của bạn, trong một thứ tự cường độ hoặc hơn; hoặc phạm vi của các giá trị tiêu biểu? Điều này có thể giúp đánh giá kỹ thuật nào có khả năng hiệu quả nhất. Tôi được nhắc nhở về tối thiểu hóa logic , bản đồ DNF và Karnaugh .

| I |

$|I|$

| J |

$|J|$

— DW

Có lẽ một cách khác để xây dựng này là như sau: Cho một đồ thị hai phía tìm thấy một số lượng tối thiểu của bè phái song phương (hoặc bi-bè phái) mà bìa . Mỗi cụm tương ứng với một sản phẩm duy nhất trong không gian cartesian của bạn.

G = (L, R, E)

$G = (L, R, E)$

E

$E$

— Nicholas Mancuso

NM cải tổ vấn đề này trong các ý kiến là tìm ra số lượng tối thiểu các nhóm lưỡng cực (bi-cliques) bao trùm một biểu đồ lưỡng cực. hai bộ bạn đề cập là 2 bộ đỉnh của đồ thị lưỡng cực. các sản phẩm cartesian của các tập hợp con của hai bộ đỉnh là bicliques. wikipedia tuyên bố đây là vấn đề về kích thước lưỡng cực và là vấn đề GT18 ở Garey và Johnson , NP đã chứng minh hoàn thành dựa trên cải cách đơn giản của vấn đề cơ sở SP7.

— vzn
nguồn