Quyết định của việc kiểm tra một phản vật chất?

9

Giả sử tôi có hai hàm và và tôi quan tâm đến việc xác định xem $F$ $G$

F (x) = \int G (x) d x .

$F(x) = \int G(x)dx.$

Giả sử rằng các hàm của tôi bao gồm các hàm cơ bản (đa thức, hàm mũ, nhật ký và hàm lượng giác), nhưng không, giả sử, chuỗi Taylor.

Là vấn đề này có thể quyết định? Nếu không, nó là semidecidable?

(Tôi đang hỏi vì tôi đang dạy một lớp về khả năng tính toán và một sinh viên hỏi tôi rằng TM có thể giúp bạn tích hợp một chức năng mà hiện tại không thể tách rời được không. Tôi nghi ngờ rằng các chức năng mà chúng tôi không biết cách tích hợp là nhiều hơn các hàm đúng mà tích phân không thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp của các hàm cơ bản ở trên thay vì các hàm mà chúng ta không thực sự biết tích phân, nhưng điều đó khiến tôi suy nghĩ về vấn đề chung của việc kiểm tra tích phân có thể quyết định được không.)

— templatetypedef
nguồn

Bạn dường như đang hỏi về sự khác biệt tượng trưng. Bạn có thể xem en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computing và en.wikipedia.org/wiki/Computer_acheebra_system . Tôi không rõ loại chức năng nào bạn cho phép. Những loại thành phần nào bạn cho phép? ví dụ: được phép không? Tôi đề nghị bạn cố gắng chính thức hóa lớp chức năng mà bạn quan tâm bằng cách sử dụng định nghĩa đệ quy. Bạn đã thử xem điều gì xảy ra khi bạn sử dụng quy tắc chuỗi và xem liệu bạn có thể có được thuật toán đệ quy xử lý tất cả các trường hợp không?

F (x) = \sin (\cos (e^{x})) + \log (2 x^{3} + 3)

$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$

— DW

3

Vì sự khác biệt là dễ dàng, bạn thực sự hỏi liệu chúng ta có thể quyết định xem một biểu thức có bằng không không. Đây có lẽ là một vấn đề mà thông tin dễ tìm thấy hơn.

F

$F$

— Yuval Filmus

8

Câu trả lời ngắn cho câu hỏi của bạn là "không". Định lý của Richardson và các phần mở rộng sau này của nó về cơ bản nói rằng ngay khi bạn bao gồm các hàm lượng giác cơ bản, vấn đề quyết định nếu (và do đó nếu , vì điều này giống như ) là không thể giải quyết được. $f(x) = 0$ $f(x) = g(x)$ $f(x) - g(x) = 0$

Điều thú vị về điều này là lý thuyết bậc nhất về các trường kín thực sự có thể quyết định được. Theo trực giác, lý do tại sao việc thêm các hàm lượng giác làm cho hệ thống bậc nhất không thể giải quyết được là vì bạn có thể xây dựng các số nguyên thông qua và lý thuyết về các số nguyên là không thể giải quyết được . $\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$

Liệu lý thuyết về các trường đóng thực sự với có thể quyết định hay không là một vấn đề mở khá nổi tiếng . $e^x$

Điều thú vị hơn nữa là nếu bạn có một nhà tiên tri "giải quyết" vấn đề liên tục (tức là một nhà tiên tri có thể cho bạn biết nếu hay không), thì việc tích hợp các hàm cơ bản theo thuật ngữ hữu hạn là có thể quyết định được , và một thuật toán thực tế được biết đến. Vì vậy, với , chúng ta có thể tìm thấy hoặc biết rằng không có tích phân cơ bản của về mặt hữu hạn. $f(x) = 0$ $G(x)$ $F(x)$ $G$

— Bút danh
nguồn

6

Vấn đề của bạn dường như làm giảm câu hỏi đơn giản sau:

Cho hai hàm trong lớp hàm, chúng ta có cho tất cả không? (Nói cách khác, chúng có cùng giá trị ở mọi nơi không?) $F,G$ $F(x)=G(x)$ $x$

Tôi không biết liệu điều này có thể quyết định được không, đối với lớp chức năng này. Nếu có, thì vấn đề của bạn cũng có thể quyết định được.

Đối với vấn đề của bạn, một cách tiếp cận chung là: phân biệt tượng trưng để lấy , sau đó kiểm tra xem chúng ta có cho tất cả . $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)=G(x)$ $x$

Vì vậy, bước quan trọng là sự khác biệt tượng trưng. Chúng ta hãy tìm hiểu làm thế nào để làm điều đó chi tiết hơn. Chúng ta có thể định nghĩa lớp các hàm cho phép theo cách đệ quy:

F (x) ::= c | x | e^{x} | \log (x) | \sin (x) | \cos (x) | \tan (x) | F_{1} (x) + F_{2} (x) | F_{1} (x) \times F_{2} (x) | F_{1} (x) / F_{2} (x) | F_{1} (F_{2} (x))

$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$

trong đó phạm vi trên các hằng số và phạm vi trên các hàm. $c$ $F,F_1,F_2$

Sau đó, có thể đưa ra một thuật toán đệ quy để phân biệt một cách tượng trưng lớp chức năng này, sử dụng các quy tắc tính toán tiêu chuẩn (ví dụ: quy tắc chuỗi, v.v.). Cụ thể, chúng ta có thể xử lý mọi trường hợp ở trên và hiển thị đệ quy rằng đạo hàm có thể được biểu thị một cách tượng trưng như một hàm trong lớp này. Ví dụ:

Nếu , . $F(x)=c$ $F'(x)=0$
Nếu , . $F(x)=x$ $F'(x)=1$
Nếu , . $F(x)=e^x$ $F'(x)=e^x$
Nếu , . $F(x)=\log(x)$ $F'(x)=1/x$
Nếu , . $F(x)=\sin(x)$ $F'(x)=\cos(x)$
Nếu , . $F(x)=\tan(x)$ $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$
Nếu , . $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$
Nếu , . $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$
Nếu , (quy tắc chuỗi). $F(x) = F_1(F_2(x))$ $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

Và như thế. Trong mỗi trường hợp, nếu nằm trong lớp các hàm cho phép, thì vậy và bạn có thể đệ quy một biểu thức tượng trưng cho - đây được gọi là phân biệt biểu tượng . $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)$

Cuối cùng, tất cả những gì còn lại là kiểm tra xem cho tất cả . Đó là vấn đề tôi đề cập ở đầu câu trả lời của tôi. $F'(x)=G(x)$ $x$

Có một phương pháp đơn giản để kiểm tra xem hai hàm có bằng nhau không mà tôi mong đợi sẽ hoạt động khá tốt trong thực tế. Thuật toán là thế này: liên tục chọn một giá trị ngẫu nhiên là và kiểm tra xem có giữ giá trị đó của . Nếu nó giữ bằng với nhiều được chọn ngẫu nhiên , thì đầu ra "chúng bằng nhau". Nếu bạn tìm thấy bất kỳ nào mà , thì hãy xuất ra "chúng khác nhau". $x$ $F(x)=G(x)$ $x$ $x$ $x$ $F(x)\ne G(x)$

Không có gì đảm bảo rằng điều này sẽ hoạt động, nhưng đối với nhiều lớp chức năng, đầu ra của quy trình này sẽ chính xác với xác suất cao. Cụ thể, giả sử chúng ta có một số phân phối trên đại diện bởi biến ngẫu nhiên và một số sao cho giữ cho tất cả trong lớp. Giả sử hơn nữa là lớp các hàm cho phép được đóng dưới phép trừ (như lớp của bạn). Sau đó, các vòng của quy trình trên đưa ra câu trả lời sai với xác suất nhiều nhất . $x$ $X$ $\epsilon>0$ $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ $F$ $r$ $(1-\epsilon)^r$

Ngoài ra, nếu có một thủ tục ngẫu nhiên để kiểm tra đẳng thức đa thức, thì vấn đề là có thể quyết định.

Vẫn còn phải hỏi liệu một kết quả như vậy có đúng với lớp chức năng cụ thể của bạn không. Tuyên bố trên có lẽ sẽ không giữ được. Tuy nhiên, nếu chúng ta may mắn, có lẽ chúng ta có thể chứng minh điều gì đó như sau:

Đối với tất cả , có thể chúng ta có thể tìm thấy phân phối trên các số thực, nghĩa là một biến ngẫu nhiên và hằng số , sao cho giữ cho tất cả các hàm có trong lớp của bạn và có "kích thước" tối đa . $s \in \mathbb{N}$ $X_s$ $\epsilon_s > 0$ $\Pr[F(X)=0]$ $F$ $s$

Nếu điều này là đúng, thì nó sẽ theo sau rằng có một thuật toán ngẫu nhiên để kiểm tra đẳng thức đa thức và do đó vấn đề của bạn là có thể giải quyết được.

— DW
nguồn