Tại sao biểu đồ này cho thấy mức độ chặt chẽ của ràng buộc 2 xấp xỉ của MST heuristic?

Đây là một vấn đề bài tập về nhà tôi đã được đưa ra và tôi đã làm suy nghĩ nhiều giờ (vì vậy tôi hài lòng với một số gợi ý). Tôi đã biết rằng tỷ lệ gần đúng có thể tệ hơn . Tôi có một biểu đồ bánh xe, trong đó mỗi cạnh có giá và khoảng cách giữa tất cả các nút không được kết nối bởi các cạnh là . Biểu đồ bánh xe là cái này: $2$ $1$ $2$ $W_6$

Tôi đã đánh dấu màu xanh lam những gì tôi tin là đầu ra của thuật toán heuristic MST. Nhưng tôi cũng nghĩ rằng đây là giải pháp tối ưu, vì tất cả các nút chỉ có thể được truy cập một lần. Vì vậy, chi phí của tour sẽ là cho cả tối ưu và MST. $7$

Tôi không thấy loại biểu đồ này cho thấy ràng buộc -appro xấp xỉ của MST heuristic là chặt chẽ (không nhất thiết là trường hợp này, nhưng nói chung là biểu đồ ). Ai đó có thể khai sáng cho tôi? $2$ $W_n$

— oarfish
nguồn

Không có ví dụ đơn lẻ nào có thể "chứng minh rằng xấp xỉ MST với TSP là xấp xỉ 2", vì là xấp xỉ 2 đòi hỏi phải nằm trong hệ số hai tối ưu trên tất cả các đồ thị. Những gì biểu đồ này được cho là sẽ chứng minh rằng MST không tốt hơn xấp xỉ 2, bằng cách hiển thị một biểu đồ mà chính xác là nó có hệ số hai. Nhân tiện, có lẽ nên có một cạnh màu đen từ V1 đến V6.

— David Richerby

@DavidR Richby Tôi biết tại sao nó không tệ hơn xấp xỉ 2, đây được coi là một trường hợp xấu nhất cho thấy ràng buộc là chặt chẽ. Hoặc có thể một loạt tăng n sẽ có tỷ lệ hội tụ thành hai. Và theo tôi hiểu, các cạnh màu đen duy nhất nên là nan hoa. Mặc dù có các nút trong vòng tròn được kết nối với chi phí 1 không làm thay đổi chuyến tham quan tôi nghĩ.

— oarfish

Tôi đề nghị bạn viết lại câu hỏi của bạn để làm rõ điều đó.

— David Richerby

Tôi không thấy cách loại biểu đồ này cho thấy ràng buộc 2 xấp xỉ của heuristic MST chặt chẽ dường như làm cho ý định của tôi rõ ràng. Làm thế nào bạn sẽ đề nghị để chỉnh sửa câu hỏi?

— oarfish

@oarfish Tiêu đề là vấn đề lớn nhất; nó làm cho mọi người mong đợi một loại câu hỏi nhất định Sau đó, họ đọc những thứ không phù hợp chút nào, họ bỏ qua phần còn lại và bình luận.

— Raphael

Câu trả lời:

Có rất nhiều sự tự do trong thuật toán: một số cây bao trùm tối thiểu và một số chuyến tham quan Euler tương ứng. Cố gắng tìm sự lựa chọn tồi tệ nhất và cho thấy rằng nó tạo ra một tour du lịch kém. Những gì bạn đang thể hiện là thuật toán có thể đưa ra lựa chọn này và do đó có thể tạo ra một xấp xỉ kém hơn.

Nếu bạn không thích ý tưởng lựa chọn này, đôi khi bạn có thể đảm bảo rằng thuật toán thực hiện các lựa chọn bạn muốn bằng cách điều chỉnh một chút trọng lượng.

— Yuval Filmus
nguồn

Trường hợp phù hợp tối thiểu đi vào chơi? Tôi không nói về Christofides, chỉ là heuristic MST. Và theo như tôi có thể nhìn thấy và thử trên giấy, không quan trọng tôi bắt đầu với MST là một ngôi sao tập trung vào hay một cái bao gồm chu kỳ bên ngoài trừ đi một cạnh cộng với một nan hoa. Có thể tôi có một sự hiểu lầm cơ bản, nhưng tôi nghĩ nó khá đơn giản.

v_{0}

$v_0$

— oarfish

@oarfish Phải, thuật toán của Christofides thực sự tốt hơn.

— Yuval Filmus

Tôi đã không nhận ra nó trước đây, nhưng đây thực sự là hướng đi đúng đắn. Một cách đơn giản là chọn các tour du lịch tồi tệ nhất có thể. Tôi không thấy rằng có nhiều trong số chúng không tương đương khi tham gia tour TSP được tạo.

— oarfish

Biểu đồ tôi đã đăng bị thiếu một số cạnh, các nút liền kề trong chu trình được cho là được kết nối. ( Chỉnh sửa : Đã sửa biểu đồ với chuyến tham quan TSP).

Biểu đồ thực tế là đây

Giải pháp của tôi diễn ra như sau. Bây giờ MST được tính cho heuristic MST rõ ràng là

cho phép nhiều tour du lịch euler, trong số những người khác:

nơi các nút chu kỳ có thể được truy cập theo thứ tự bất kỳ. Bây giờ, bất kỳ chuyến tham quan nào đều hợp lệ, vì vậy chúng tôi có thể chọn chuyến đi tồi tệ nhất, ví dụ . Dựa trên chuyến tham quan đó, MST heuristic tìm ra giải pháp TSP này: $v_0,v_4,v_0,v_1,v_0,v_3,v_0,v_6,v_0,v_2,v_0,v_5,v_0$

Bây giờ vì tất cả các cạnh có chi phí và tất cả các nút không được kết nối trong biểu đồ có khoảng cách , chi phí của chuyến tham quan là trong đó chuyến tham quan tối ưu sẽ có chi phí . Trong giới hạn $1$ $2$ $2(n-1) + 2$ $n+1$

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{MST(W_n)}{Opt(W_n)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n+1} = 2 \end{equation*}$

— oarfish
nguồn