Hiểu về câu trả lời của Turing cho Entscheidungspropet

Tôi xin lỗi nếu câu hỏi này đã được hỏi trước đó, nhưng tôi không thể tìm thấy một bản sao.

Tôi vừa đọc xong The Annotated Turing và tôi hơi bối rối.

Theo những gì tôi hiểu, Entscheidungspropet là liệu một thuật toán có tồn tại hay không có thể xác định liệu một tuyên bố có thể chứng minh được hay không. Trong bài báo, Turing định nghĩa một máy K sẽ chứng minh tất cả các công thức có thể chứng minh được. Điều này có vẻ gần giống như một giải pháp cho vấn đề, nhưng sau đó Turing viết:

Nếu sự phủ định của những gì Gôdel đã thể hiện đã được chứng minh, tức là nếu, đối với mỗi A , A hoặc -A là có thể chứng minh được, thì chúng ta nên có một giải pháp tức thời về Entscheidungsprobols. Vì chúng ta có thể phát minh ra một máy K sẽ chứng minh liên tiếp tất cả các công thức có thể chứng minh được. Sớm hay muộn K sẽ đạt A hoặc -A . Nếu nó đạt A , thì chúng ta biết rằng A là có thể chứng minh được. Nếu nó đạt -A , thì, vì K là nhất quán (Hilbert và Ackermann, tr. 65), chúng ta biết rằng A là không thể chứng minh được.

Định lý của Godel đã chỉ ra rằng một số tuyên bố là đúng, nhưng không thể chứng minh được. Tôi đoán điều tôi không hiểu là làm thế nào kết quả của Gôdel ngăn máy K của Turing trở thành một giải pháp cho Entscheidungsprobols. Có phải nó chỉ đơn giản như có một số công thức mà máy K sẽ không bao giờ gặp phải, vì vậy nó sẽ tiếp tục chạy mãi mãi và không bao giờ kết luận rằng công thức đó là không thể chứng minh?

Những gì Gôdel đã chỉ ra là không có tiên đề hóa hữu hạn bậc nhất của lý thuyết về các số tự nhiên. Điều này có nghĩa là nếu bạn đưa ra một danh sách hữu hạn các tiên đề và lược đồ bậc nhất, thì hệ thống chứng minh tương ứng sẽ không thể chứng minh tất cả các tuyên bố đúng về các số tự nhiên. Ví dụ, nó sẽ không thể chứng minh tính nhất quán của chính nó (đây là định lý không hoàn chỉnh thứ hai của Gôdel). (Một hệ thống bằng chứng phù hợp nếu nó không chứng minh được tuyên bố và điều ngược lại.)

Máy Turing, khi áp dụng cho bất kỳ hệ thống bằng chứng cho hữu hạn bậc nhất , do đó sẽ có thể chứng minh không phải tuyên bố rằng là phù hợp cũng không phủ định của nó.$\Pi$$\Pi$

Tất nhiên, đây không phải là một bằng chứng cho thấy bản thân Entscheidungspropet là không thể giải quyết được; có lẽ có một cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau mà làm việc. Turing đã có thể chỉ ra rằng, trên thực tế, không có phương pháp (tính toán) nào hoạt động.