Các ngôn ngữ không có ngữ cảnh không bị đóng dưới làm cho chúng thành phần mềm miễn phí mở rộng

Cho một ngôn ngữ $L$ , định nghĩa:

N E (L) = {x \in L : x is not the proper prefix of any string in L}

$NE(L) = \{x \in L : x \text{ is not the proper prefix of any string in } L\}$

Tôi đang cố gắng hiển thị các ngôn ngữ không ngữ cảnh không bị đóng trong thao tác này. Tôi đã vật lộn trong một thời gian dài để cố gắng tìm một ví dụ, đó là một ngôn ngữ $L$ như vậy mà $L$ không có ngữ cảnh nhưng $NE(L)$ không có ngữ cảnh, và không có gì. Tôi đánh giá cao ý tưởng hoặc gợi ý về ngôn ngữ để xem xét.

Chỉnh sửa: Đối với phần lớn các ngôn ngữ không ngữ cảnh, có vẻ như một trong hai $NE(L) = L$ hoặc là $NE(L) = \varnothing$ . Tôi đang gặp khó khăn ngay cả khi tìm ngôn ngữ ứng cử viên.

formal-languages context-free closure-properties

— cemulation
nguồn

Để cho

L = {a^{n}} \cup {a^{n} b^{n}}

$L = \{a^n\} \cup \{a^nb^n\}$ , sau đó

N E (L) = {a^{n} b^{n}}

$NE(L) = \{a^nb^n\}$ . Nhưng

N E (L) \neq L \land N E (L) \neq \emptyset

$NE(L) \neq L \wedge NE(L) \neq \varnothing$ .

— Anton Trunov

Thay vì ngôn ngữ $L\subseteq \Sigma^*$ xem xét ngôn ngữ $L' =L\$\$$ , nên nối mỗi chuỗi bằng hai bản sao của $\$$ Ở đâu $\$$ là một biểu tượng mới không có trong $\Sigma$ .

Để cho $x\in \Sigma^*$ . Chuỗi $x\$$ không phải là tiền tố thích hợp của $L'$ iff $x\$\$ \notin L'$ iff $x\notin L$ .

Điều đó sẽ bắt đầu bạn đi.

— Hendrik Jan
nguồn

Tôi đã nhìn chằm chằm vào điều này một lúc rồi và tôi không thấy nó đâu. Thứ nhất,

x $

$x\$$ thậm chí không có trong

L^{'}

$L'$ , vì vậy nó chắc chắn không thể ở trong

N E (L^{'})

$NE(L')$ (là tập con của

L^{'}

$L'$ ). Để áp dụng tiêu chí "không phải là tiền tố thích hợp của

L^{'}

$L'$ ", chúng ta cần bắt đầu với một

x \in L^{'}

$x \in L'$ , nếu không, chúng tôi không nhận được thông tin về

N E (L^{'})

$NE(L')$ . Tôi có hiểu lầm gì ở đây không?

— hỏa táng

Bạn đúng rồi. Để giải quyết vấn đề này tôi nghĩ rằng nó đủ để xem xét

L^{'} = L $ $ \cup Σ^{*} $

$L' = L\$\$ \cup \Sigma^*\$$ thay thế.

— Hendrik

À, thông minh. Vì vậy, về cơ bản, chúng ta có thể sử dụng cấu trúc này để chỉ ra rằng nếu

C F L

$CFL$ đã bị đóng cửa dưới

N E

$NE$ , sau đó nó sẽ phải được đóng lại dưới sự bổ sung để rút ra mâu thuẫn. Ngoài ra, chỉ cần chọn một ngôn ngữ mà phần bổ sung không thành CFL để lấy ví dụ mẫu. Cảm ơn, tôi không biết khi nào tôi sẽ nghĩ về thứ gì đó như thế này ...

— hãy tưởng niệm

@AntonTrunov Gợi ý của tôi cho trường hợp "chung chung": Hai phần của ngôn ngữ có thể được phân biệt bằng đuôi của chúng. Vì vậy, chúng ta có thể cô lập

C (L) $

$C(L)\$$ bằng cách giao nhau với thường xuyên

Σ^{*} $

$\Sigma^*\$$ .

— Hendrik

@AntonTrunov Xin lỗi, tôi nên chính xác hơn. Các ngôn ngữ không ngữ cảnh được đóng dưới giao điểm với các ngôn ngữ thông thường.

— Hendrik