Đơn giản hóa tính toán Lambda

Dưới đây là biểu thức lambda mà tôi thấy khó giảm, tức là tôi không thể hiểu làm thế nào để giải quyết vấn đề này.

$$(\lambda mn.(\lambda sz.ms(nsz)))(\lambda sz.sz)(\lambda sz.sz)$$

Tôi bị mất với điều này.

nếu ai đó có thể dẫn tôi đi đúng hướng sẽ được đánh giá cao

Các thuật ngữ Lambda được đơn giản hóa theo quy tắc giảm β :

$$(\lambda x.M)N\,\rightarrow_\beta\,M[x:=N]$$

Nó có nghĩa là, nếu bạn có một subterm trông giống như $(\lambda x.M)N$(được gọi là redex ) bạn có thể thay thế nó bằng$M[x:=N]$, đó là $M$ với $N$ Được thay thế cho $x$. Sự thay thế$M[x:=N]$thường được gọi là hợp đồng . (Chữ in hoa thích$M$ và $N$ được sử dụng để biểu thị các điều khoản.)

Trong trường hợp của bạn, mức giảm đầu tiên sẽ là:

$$(\underbrace{(\lambda mn.(\lambda sz.ms(nsz)))(\lambda sz.sz)}_{\mbox{redex}})(\lambda sz.sz) \rightarrow_\beta \underbrace{(\lambda n.(\lambda sz.(\lambda sz.sz)s(nsz)))}_{\mbox{contractum}}(\lambda sz.sz)$$ nơi chúng tôi thay thế $m$ với $\lambda sz.sz$. Lưu ý rằng bây giờ chúng ta có$\lambda sz$ phía trong $\lambda sz$mà không phải là rất thuận tiện (chưa được phép). Tốt hơn là đổi tên các biến bị ràng buộc ($\alpha$-conversion) để được phân biệt, ví dụ:

$$(\lambda n.(\lambda uv.(\lambda sz.sz)u(nuv)))(\lambda sz.sz)$$

Một số lưu ý:

• Thay thế chỉ áp dụng cho các biến miễn phí . Các biến giới hạn luôn luôn nguyên vẹn.
• Đôi khi sự thay thế là không thể trực tiếp. Ví dụ: bạn không thể thay thế$x:=y$ vào $\lambda y.xy$ bởi vì $y$ bị ràng buộc dưới $\lambda$. Bạn sẽ nhận được$\lambda y.yy$mà sẽ thay đổi ý nghĩa của thuật ngữ. Vì vậy, trước tiên, bạn phải đổi tên biến bị ràng buộc trước, ví dụ như$\lambda z.xz$ và sau đó bạn có thể thay thế một cách an toàn $x:=y$ để có được $\lambda z.yz$. Bài viết Wikipedia đưa ra định nghĩa chính thức về sự thay thế và chỉ ra khi cần đổi tên các biến bị ràng buộc.
• Lambda liên kết với bên phải, vì vậy $\lambda sz.sz$ Là $\lambda s.(\lambda z.sz)$.
• Ứng dụng liên kết bên trái, vì vậy $xyz$ Là $(xy)z$.

Một cách khác để thể hiện sự trừu tượng và giảm bớt lambda. Các chỉ mục được sử dụng thay vì các thuật ngữ chữ dựa trên thứ tự đầu vào. Trừu tượng được bao quanh bởi []

(λmn.(λsz.ms(nsz)))(λsz.sz)(λsz.sz)
m -> 1, n -> 2, s -> 3, z -> 4
(λmn.(λsz.ms(nsz))) = [1 3 (2 3 4)]
(λsz.sz) = [1 2]
[1 3 (2 3 4)][1 2][1 2]  
[[1 2] 2 (1 2 3)][1 2]   ;1 was replaced with [1 2], remaining terms decremented
[[1 2] 1 ([1 2] 1 2)]    ;1 was replaced with [1 2], remaining terms decremented
[1 ([1 2] 1 2)]          ;1 2 was replaced by 1 ([1 2] 1 2)]
[1 (1 2)]                ;1 2 was replaced by 1 2
(λmn.m(mn))

Các ký hiệu ở trên chỉ là một cách nhỏ gọn hơn và rõ ràng hơn để thể hiện trừu tượng lambda. Trừu tượng hợp chất giảm xuống một hình thức bình thường duy nhất tự động, không cần giảm alpha.

Chỉ số tích cực duy nhất được sử dụng cho các điều khoản ràng buộc. Các chỉ số tiêu cực được sử dụng cho các thuật ngữ tiêu diệt. Các chỉ số tiêu cực được đặt cuối cùng theo thứ tự độ lớn giảm dần.

I = λx.x = [1]
K = λxy.x = [1 -2]
KI = λyx.x = [2 -1]
S = λxyz.xz(yz) = [1 3 (2 3)]

Áp dụng S cho K:

[1 3 (2 3)][1 -2]
[[1 -2] 2 (1 2)]  ;1 was replaced with [1 -2], remaining terms decremented
[[.2 -1] (1 2)]   ;reducing: 1 replaced by .2*, -2 decremented (in magnitude) 
[2 -2 -1]         ;(1 2) bound terms become kill terms due to -1.
[2 -1] = KI       ;-2 kill term is void due to surviving 2 term

* the . notation signifies the bound term is from the outer abstraction 
  and must be used to prevent decrementing and double replacement of the
  term until the substitution of all terms in the abstraction is complete.

[2 -1][anything] ;applying KI to anything
[1] = I          ;yeilds I, therefor SK[anything] = [1] = I

Áp dụng K cho K:

[1 -2][1 -2]
[[1 -2] -1]  ;kill terms are absorbed and also increase the magnitude of bound terms
[2 -3 -1]    ;applying this result to anything yields K.
[2 -3 -1][anything]
[2 -1]