Cho hàm tính toán, các điều kiện để tính toán của hàm nghịch đảo là gì?


8

Nếu có thể tính toán được và có nghịch đảo thì trong điều kiện nào f - 1 cũng có thể tính toán được? Tôi không thể tìm thấy điều đó trong một cuốn sách giáo khoa và việc googling nhận được một số gợi ý mơ hồ về tính từ, nhưng tôi không thể tìm thấy một định lý được nêu rõ ràng về hiệu ứng đó. Ăn nói lấc cấc, song ánh có vẻ đầy đủ nhưng không cần thiết, ví dụ như, f ( n ) = 2 n là không surjective nhưng là computably khả nghịch (đối với một hàm tổng nghịch đảo, sử dụng nhấc miền N và bản đồ số lẻ sao để f:NNf1f(n)=2nN). Ngoài một câu trả lời, một tham chiếu đến một định lý / bằng chứng sẽ là tuyệt vời, hoặc chỉ tên của một định lý có liên quan để tôi có thể google thành công nó.

Câu hỏi này xuất hiện trong đầu về suy nghĩ sau đây (mà tôi cũng không thể tìm thấy trong sách giáo khoa hoặc google bất cứ điều gì về). Sự khác biệt giữa tính toán và f - 1 không, so với cả hai tính toán, có vẻ tương tự như phân biệt tái so với đệ quy. Điều đó có thể được thể hiện nghiêm ngặt?ff1

Ví dụ, hãy xem xét , với f D = [ E E ] sự (Scott- hoặc Lawson liên tục) không gian chức năng miền của một số miền E . Hãy K D được D 's yếu tố nhỏ gọn, f = { g K D | g f } , trong đó f = f , tất cả theo cách thông thường. Sau đó f là tính toán nếu đếm f:EEfD=[EE]EKDDf={gKDgf}f=ff là re Tương tự, f - 1 có thể tính toán được nếu phép liệt kêf - 1 là re Vì vậy, nếu cả hai đều có thể tính toán được, nghĩa là cả hai phép liệt kê lại, thì điều đó dường như (đối với tôi) ít nhất là tương tự với đệ quy.ff1f1

Tất nhiên, nó không hoàn toàn được điều tương tự như đệ quy, vì nếu là một đếm f , và tương tự cho N f - 1 , sau đó N f - 1NN f (ít nhất là tôi không giả sử như vậy). Nhưng dường như có một số loại ý tưởng tương tự đang cố gắng thể hiện chính nó. Vì vậy, làm thế nào bạn có thể xây dựng loại điều đó một cách nghiêm ngặt? Trong số các bước đầu tiên, tôi nghĩ bạn muốn thể hiện N f - 1 theo N fNfNfNf1Nf1NNfNf1Nf, nhưng tôi không thấy làm thế nào để thiết lập điều đó (có gợi ý nào để làm điều đó không?).

Vì vậy, ý tưởng này cũng được biết đến và thảo luận? Sách giáo khoa hoặc tài liệu tham khảo google (hoặc thuật ngữ tìm kiếm có thể google) sẽ rất tuyệt. Cảm ơn.

Câu trả lời:


7

Hãy để chúng tôi nói rằng một hàm tính toán là không thể đảo ngược nếu có một hàm tính toán khác g mà trên đầu vào y hoặc tìm thấy x sao cho ffgyx hoặc lợi nhuận khi y không có preimage.f(x)=yy

Đối với định nghĩa này, người ta có thể chỉ ra rằng một hàm tính toán là không thể đảo ngược được khi và chỉ khi phạm vi của nó có thể quyết định được, nghĩa là, chúng ta có thể quyết định xem một đầu vào đã cho có một tiền tố theo f hay không .ff


1
Cảm ơn rất nhiều, @YuvalFilmus, đó chính xác là những gì tôi đang tìm kiếm. Bạn cũng có thể cho tôi tên của định lý đó (hoặc một số cách để tìm thấy nó trong chỉ mục của một cuốn sách giáo khoa, hoặc google nó)? Tôi muốn nghiên cứu sâu hơn một chút (nhưng không cần phải "cắt và dán" ở đây). (Và tôi mang nó khi là nhiều-một, sau đó g chỉ trả về đầu tiên x -preimage nó tìm thấy vì nó munges qua y 's trong f ' s phạm vi decidable.)fgxyf
John Forkosh

Tôi mới đưa ra định lý này, vì vậy nếu nó có tên tôi không biết về nó. Bằng chứng là một bài tập đơn giản dọc theo các dòng ghi trong bình luận của bạn.
Yuval Filmus

Cảm ơn một lần nữa, Yuval. Được rồi tôi hiểu rồi. Và cảm giác của tôi là tình trạng của bạn thực sự là một cần thiết, mặc dù tôi không ăn nói lấc cấc thấy làm thế nào để chứng minh 's dao động undecidable f - 1 không tính toán. Ngoài ra, tôi nghĩ tất cả những thứ này phải được biết đến và được thực hiện cho đến chết. Có vẻ như là một câu hỏi rõ ràng để hỏi, nhưng tôi không thể google một câu trả lời cụ thể. f f1
John Forkosh

Hãy thử chỉ ra rằng nếu có thể tính toán được thì phạm vi của f là có thể quyết định được. f1f
Yuval Filmus

Cảm ơn một lần nữa. Có vẻ như quá rõ ràng --- bây giờ bạn đã nói rồi :)
John Forkosh
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.