Làm thế nào để chứng minh P

Tôi biết rằng đây có vẻ là một câu hỏi rất ngu ngốc (hoặc quá rõ ràng để nêu). Tuy nhiên, tôi bối rối ở một số điểm.

Chúng ta có thể chỉ ra rằng P NP$=$ khi và chỉ khi chúng ta có thể thiết kế một thuật toán giải quyết bất kỳ trường hợp cụ thể nào của vấn đề trong NP trong thời gian đa thức.

Tuy nhiên, tôi không hiểu làm thế nào chúng ta có thể chứng minh rằng P NP . Xin thứ lỗi cho tôi về tính tương tự sau đây vì nó có thể không liên quan, nhưng nói với ai đó để chứng minh nếu P không bằng NP xuất hiện với tôi như nói với ai đó để chứng minh rằng Chúa không tồn tại.$\neq$

Có một loạt các vấn đề, những vấn đề không thể được giải quyết bằng Máy tự động hữu hạn không xác định (NFA) với số lượng trạng thái đa thức bất kể công nghệ hiện tại (tôi biết đây là định nghĩa cẩu thả). Ngoài ra, chúng tôi có một bộ thuật toán lớn đáng kể gây ra một số vấn đề quan trọng (đường đi ngắn nhất, cây bao trùm tối thiểu và thậm chí tổng các số nguyên ) các vấn đề về thời gian đa thức.$1 + 2 + \dots + n$

Tóm lại câu hỏi của tôi: Nếu tôi tin rằng P NP$=$ , bạn sẽ nói "sau đó hiển thị thuật toán của bạn giải quyết vấn đề NP trong thời gian đa thức!". Giả sử rằng tôi tin P NP . Sau đó, những gì bạn sẽ hỏi chính xác? Bạn muốn tôi thể hiện điều gì?$\neq$

Câu trả lời rõ ràng là "bằng chứng của bạn". Tuy nhiên, loại bằng chứng nào cho thấy một thuật toán không thể tồn tại? (trong trường hợp này, thuật toán thời gian đa thức cho bài toán NP )

Có ba cách chính tôi biết có thể chứng minh rằng P$\,\neq\,$NP .

1. $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$Mạch phức tạp là khác.

2. Cho thấy P và  NP có các thuộc tính cấu trúc khác nhau. Ví dụ, P  được đóng dưới sự bổ sung. Nếu bạn có thể chỉ ra rằng NP$\,\neq\,$co-NP (nghĩa là NP  không được đóng dưới sự bổ sung), thì phải là P$\,\neq\,$NP . Tất nhiên, điều này chỉ đẩy vấn đề sâu hơn một cấp - bạn sẽ chứng minh NP như thế nào$\,\neq\,$đồng NP ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. Chứng minh rằng một số vấn đề không phải là NP -complete. Nếu P$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP .

Tóm lại câu hỏi của tôi: Nếu tôi tin rằng P = NP , bạn sẽ nói "sau đó hiển thị thuật toán của bạn giải quyết vấn đề NP trong thời gian đa thức!".

Đừng quên rằng bạn vẫn phải chứng minh rằng thuật toán của bạn giải quyết được vấn đề và nó chạy trong thời gian đa thức.

Giả sử rằng tôi tin P ≠ NP . Sau đó, những gì bạn sẽ hỏi chính xác? Bạn muốn tôi thể hiện điều gì?

Trước tiên, hãy cố gắng giải thích "tại sao" P ≠ NP và tại sao lý do này có thể được sử dụng để chứng minh P ≠ NP trong một khung logic phù hợp. Sau đó phác thảo một bằng chứng, và giải thích làm thế nào các phần đáng ngờ nhất của nó có thể được bảo vệ. Tiếp theo, chia nhỏ bằng chứng này thành các tuyên bố đơn giản hơn, có thể được xác minh độc lập.

• Ví dụ, khung logic do ZFC cung cấp là tốt (thậm chí quá tốt theo một nghĩa nào đó) trong việc chứng minh sự tồn tại của các mô hình (của các bộ tiên đề được đưa ra rõ ràng, thậm chí thường thỏa mãn các tính chất kim loại bổ sung). Vì vậy, nếu bạn biết một lý do cho P ≠ NP liên quan đến sự tồn tại của một mô hình với một số thuộc tính lạ, thì trước tiên hãy giải thích lý do này và sau đó chỉ ra cách mô hình tương ứng có thể được xây dựng trong ZFC.
• Lấy ví dụ, tôi tin rằng một lý do "tại sao" P ≠ NP là toán học có thể gần đúng mọi thứ xảy ra trong thế giới vật lý, bao gồm cả tính ngẫu nhiên. Tuy nhiên, có một thực tế là các hệ thống chính thức rất hạn chế về khả năng chứng minh một chuỗi, số, "đối tượng" hoặc "tạo tác" nhất định là về cơ bản là ngẫu nhiên, vì vậy không chắc là lý do này có thể được sử dụng để chứng minh trong bất kỳ hệ thống chính thức xác định rõ ràng. Có lẽ nếu bạn thiết kế một hệ thống chứng minh xác suất (lượng tử) thì bạn có thể xác minh một số bằng chứng nhất định trong hệ thống chỉ với xác suất hữu hạn tùy thuộc vào tài nguyên vật lý có sẵn của bạn ...
• Như một ví dụ có khả năng, luật trung gian bị loại trừ về cơ bản phản ánh một quan điểm tĩnh về vũ trụ (toán học), và do đó cực kỳ khó có thể giữ được trong một vũ trụ năng động. Bây giờ NP = coNP (hoặc bất kỳ sự sụp đổ nào khác của hệ thống phân cấp đa thức) về cơ bản sẽ là một phiên bản gần đúng của luật trung gian bị loại trừ đối với độ phức tạp thời gian, nhưng độ phức tạp thời gian quá gần với vũ trụ động đối với điều này là có thể. Có những khung logic như logic tuyến tính của Girard có khả năng nắm bắt các khía cạnh động của vũ trụ, vì vậy ... Lưu ý rằng Brouwer đã ở trong một tình huống tương tự và đã tuyên bố sự thất bại cần thiết của chương trình của Hilbert là sự kiện khai mạc Chủ nghĩa Trực giác và Chủ nghĩa hình thức vào năm 1912 (giải thích lý do tại sao nó sẽ là lý luận tròn), nhưng vẫn không thể phác thảo bằng chứng không hoàn chỉnh của Gôdel từ năm 1930.
• Để làm ví dụ gần đúng, chúng ta hãy cố gắng nắm bắt một số bằng chứng có sẵn cho P ≠ NP , cụ thể là giới hạn dưới theo hàm mũ của đa giác nhân viên bán hàng du lịch , và các thủ tục dựa trên độ phân giải để đạt được sự thỏa mãn do nguyên tắc chuồng lợn yếu. "Tại sao" trong trường hợp này là một loại vấn đề hoàn thành NP nhất định không thể được giải quyết hiệu quả bằng các thuật toán dựa trên các nguyên tắc tự nhiên (đối với loại vấn đề hoàn thành NP được xem xét), như các công thức lập trình tuyến tính cho TSP hoặc dựa trên độ phân giải phương pháp chứng minh cho SAT. Các bài báo khác nhau đưa ra những lý do độc lập khác nhau tại sao điều này có thể được sử dụng để chứng minh điều gì đó, bài báo cuối cùng về TSP chẳng hạn đã trích dẫn một "mối liên hệ chặt chẽ giữa các cải cách lập trình bán chính xác của LP và các giao thức truyền thông lượng tử một chiều" là lý do, trong khi bài báo cuối cùng về độ phân giải trích dẫn hai lý do độc lập, cụ thể là giới hạn dưới "cho một lớp công thức đại diện cho nguyên tắc pigeonhole và cho các công thức được tạo ngẫu nhiên".
  Bạn cũng có thể quan sát rằng đã có những nỗ lực để củng cố kết quả theo thời gian. Các kết quả ban đầu cho TSP chỉ liên quan đến công thức lập trình tuyến tính đối xứng, trong khi các kết quả mới nhất không có hạn chế đó, và cũng áp dụng cho các vấn đề thiết lập cắt tối đa và ổn định tối đa ngoài TSP. Các kết quả ban đầu cho độ phân giải chỉ được coi là các thủ tục phân giải Davis-Putnam cơ bản và một lớp các ví dụ phản ứng nhân tạo duy nhất, trong khi các kết quả mới nhất bao gồm các lớp phương pháp dựa trên độ phân giải lớn và đưa ra nhiều lớp các ví dụ phản biện xảy ra tự nhiên.
  Đối với TSP, tôi không biết làm thế nào các kết quả sẽ được tăng cường hơn nữa, ngoại trừ có thể bằng cách áp dụng cho nhiều vấn đề hơn ngoài TSP, cắt tối đa và thiết lập ổn định tối đa. Để giải quyết, tôi sẽ có nhiều ý tưởng làm thế nào để củng cố kết quả hơn nữa, nhưng bài báo tôi liên kết là từ năm 2002, Stephen Cook và Phương Nguyễn đã xuất bản một chuyên khảo Logic Foundation of Proof Complexity năm 2010 mà tôi chưa từng duyệt, và tôi đoán nó sẽ bao gồm nhiều ý tưởng của tôi. Thật thú vị khi lưu ý rằng sự khác biệt nhỏ thực sự tạo ra cho hầu hết chúng ta bao nhiêu kết quả này đã được tăng cường theo thời gian, mặc dù chúng tôi quan tâm đến NP P NPcâu hỏi Ngay cả khi điều đó đã được chứng minh trong khi đó, các thuật toán dựa trên các hệ thống logic không có quy tắc cắt không thể giải quyết hiệu quả các vấn đề thỏa đáng, chúng tôi vẫn tin rằng về cơ bản không có tiến triển nào trên P NP , rằng vấn đề về cơ bản là vẫn mở rộng rãi hơn bao giờ hết