Có bất kỳ vấn đề cụ thể nào được biết là không thể giải quyết được vì những lý do khác ngoài đường chéo, tự tham chiếu hoặc giảm khả năng không?

Mọi vấn đề không thể giải quyết mà tôi biết đều thuộc một trong các loại sau:

1. Các vấn đề không thể giải quyết được do đường chéo (tự tham chiếu gián tiếp). Những vấn đề này, giống như vấn đề tạm dừng, là không thể giải quyết được vì bạn có thể sử dụng một công cụ quyết định có mục đích cho ngôn ngữ để xây dựng một TM có hành vi dẫn đến mâu thuẫn. Bạn cũng có thể đưa nhiều vấn đề không thể giải quyết được về sự phức tạp của Kolmogorov vào trại này.

2. Các vấn đề không thể giải quyết được do tự tham khảo trực tiếp. Ví dụ, ngôn ngữ phổ quát có thể được chứng minh là không thể giải quyết được vì lý do sau: nếu nó có thể quyết định, thì có thể sử dụng định lý đệ quy của Kleene để xây dựng một TM có mã hóa riêng, hãy hỏi liệu nó có chấp nhận đầu vào của chính nó không , sau đó làm ngược lại.

3. Các vấn đề không thể giải quyết được do giảm từ các vấn đề không thể giải quyết được hiện có. Các ví dụ điển hình ở đây bao gồm Bài toán tương ứng bài (giảm từ vấn đề tạm dừng) và Entscheidungsprobols.

Khi tôi dạy lý thuyết tính toán cho các sinh viên của mình, nhiều sinh viên cũng tiếp thu vấn đề này và thường hỏi tôi nếu có bất kỳ vấn đề nào chúng tôi có thể chứng minh là không thể giải quyết được mà không truy tìm lại một loại mánh khóe tự tham khảo nào. Tôi có thể chứng minh một cách không có căn cứ rằng có vô số vấn đề không thể giải quyết được bằng một đối số cardinality đơn giản liên quan đến số lượng TM với số lượng ngôn ngữ, nhưng điều này không đưa ra một ví dụ cụ thể về ngôn ngữ không thể giải quyết được.

Có ngôn ngữ nào được biết là không thể giải quyết được vì những lý do không được liệt kê ở trên không? Nếu vậy, chúng là gì và những kỹ thuật nào đã được sử dụng để thể hiện tính không ổn định của chúng?

Vâng, có bằng chứng như vậy. Chúng dựa trên Định lý cơ sở thấp .

Xem câu trả lời này để Có bằng chứng nào cho thấy sự không ổn định của vấn đề tạm dừng không phụ thuộc vào tự tham chiếu hoặc đường chéo? câu hỏi về cstheory để biết thêm.

đây không hẳn là một câu trả lời khẳng định, mà là một nỗ lực ở một cái gì đó gần với những gì được yêu cầu thông qua một góc độ sáng tạo. Hiện nay có khá nhiều vấn đề trong vật lý "khác xa" với các công thức toán học / lý thuyết về tính không ổn định, và chúng dường như ngày càng "xa" và "ít giống với" các công thức ban đầu liên quan đến vấn đề tạm dừng, v.v .; tất nhiên họ sử dụng vấn đề tạm dừng ở gốc nhưng các chuỗi lý luận đã trở nên ngày càng xa vời và cũng có một khía cạnh / bản chất "ứng dụng" mạnh mẽ. Thật không may, dường như chưa có cuộc khảo sát tuyệt vời nào trong lĩnh vực này. một vấn đề gần đây "đáng ngạc nhiên" đã được chứng minh là không thể giải quyết được trong vật lý đã thu hút rất nhiều sự chú ý:

• Sự bất ổn của khoảng cách quang phổ / Cubitt, Perez-Garcia, Wolf

Khoảng cách quang phổ, sự khác biệt về năng lượng giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu tiên của một hệ thống là trung tâm của vật lý lượng tử nhiều cơ thể. Nhiều vấn đề mở đầy thách thức, chẳng hạn như phỏng đoán Haldane, câu hỏi về sự tồn tại của các pha lỏng spin topo bị rách, và phỏng đoán khoảng cách Yang Yang Mills, liên quan đến các khoảng trống quang phổ. Những vấn đề này và các vấn đề khác là những trường hợp cụ thể của vấn đề khoảng cách quang phổ chung: được đưa ra là Hamilton của một hệ thống nhiều lượng tử, nó bị hở hay không có khe hở? Ở đây chúng tôi chứng minh rằng đây là một vấn đề không thể giải quyết được. Cụ thể, chúng tôi xây dựng các họ hệ thống spin lượng tử trên mạng hai chiều với bất biến dịch mã, tương tác lân cận gần nhất, trong đó vấn đề khoảng cách quang phổ là không thể giải quyết được. Kết quả này mở rộng đến tính không ổn định của các thuộc tính năng lượng thấp khác,

Những gì bạn dường như đang quan sát trong câu hỏi là các bằng chứng không chính xác (không chính thức) đều có cấu trúc "tự tham chiếu" nhất định, và điều này đã được chứng minh chính thức trong toán học tiên tiến hơn, sao cho cả vấn đề tạm dừng Turing và định lý Godels đều có thể được xem như là trường hợp của cùng một hiện tượng cơ bản. xem ví dụ:

• Ngừng vấn đề, bộ không tính toán: chứng minh toán học phổ biến?

Định lý tạm dừng, định lý Cantor (tính không đẳng cấu của tập hợp và tập hợp sức mạnh của nó) và định lý không hoàn chỉnh của Goedel là tất cả các trường hợp của định lý điểm cố định Lawvere, nói rằng đối với bất kỳ thể loại đóng cartesian nào, nếu có một bản đồ biểu đồ e: A → (A⇒B) thì mọi f: B → B có một điểm cố định.

cũng có một bài thiền dài về chủ đề này về tính liên kết (nội tại?) của tính tự giới thiệu và tính không chắc chắn trong các cuốn sách của Hofstadter. một lĩnh vực khác mà kết quả không ổn định là phổ biến và ban đầu hơi "đáng ngạc nhiên" là với hiện tượng gãy xương. sự xuất hiện / tầm quan trọng xuyên suốt của các hiện tượng không thể giải quyết được trong tự nhiên gần như là một nguyên tắc vật lý được công nhận tại thời điểm này, lần đầu tiên được Wolfram quan sát là "nguyên tắc tương đương tính toán" .