Định nghĩa PTAS so với FPTAS

Từ những gì tôi đọc được trong preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Đây là định nghĩa PTAS :

Lược đồ xấp xỉ thời gian đa thức ( PTAS ) cho bài toán là sơ đồ xấp xỉ có độ phức tạp thời gian là đa thức trong kích thước đầu vào.$X$

và định nghĩa của FPTAS

Đề án xấp xỉ thời gian đầy đủ đa thức ( FPTAS ) cho vấn đề là một chương trình xấp xỉ có độ phức tạp thời gian là đa thức trong kích thước đầu vào và cũng đa thức trong 1 / ε .$X$$\epsilon$

Sau đó, người viết nói:

Do đó, đối với PTAS, độ phức tạp thời gian tỷ lệ thuận với ở đâu | Tôi | là kích thước đầu vào; mặc dù phức tạp thời gian này là mũ trong 1 / ε . Một FPTAS không thể có độ phức tạp thời gian tăng theo cấp số nhân trong 1 / ϵ nhưng độ phức tạp thời gian tỷ lệ với | Tôi | 8 / ε 3 sẽ là tốt. Liên quan đến xấp xỉ trường hợp xấu nhất, FPTAS là kết quả mạnh nhất có thể mà chúng ta có thể rút ra cho một vấn đề NP-hard.$|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

Sau đó, ông đề xuất hình dưới đây để minh họa mối quan hệ giữa các lớp vấn đề:

Đây là câu hỏi của tôi:

1. $1/\epsilon$

2. $(n+1/\epsilon)^3$

3. Ý anh ta là gì: một FPTAS là kết quả mạnh nhất có thể mà chúng ta có thể rút ra cho một vấn đề NP-hard.

4. Trong phần tổng hợp, tôi muốn biết chính xác những khái niệm này có nghĩa gì và tính chất riêng biệt của chúng là gì.

Cảm ơn trước.

Hãy để tôi trả lời câu hỏi của bạn theo thứ tự:

1. $n$$1+\epsilon$$n$$1/\epsilon$$O((n/\epsilon)^C)$$C \geq 0$$2^{1/\epsilon}$$O((n/\epsilon)^C)$$C$
   $O((n/\epsilon)^C)$$O(n^C e^{D/\epsilon})$$\epsilon$$E$$1+1/n^E$

2. $1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$$\log(1/\epsilon)$

4. $C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$$C$

$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$