Không phải kiểm tra nhận dạng đa thức đối với số học * biểu thức * tầm thường?

Kiểm tra danh tính đa thức là ví dụ tiêu chuẩn của một vấn đề được biết đến là trong đồng RP nhưng không biết là tại P . Trong các mạch số học , nó thực sự có vẻ khó, vì mức độ của đa thức có thể được thực hiện lớn theo cấp số nhân bằng cách bình phương lặp đi lặp lại. Câu hỏi này giải quyết vấn đề làm thế nào để giải quyết vấn đề này và giữ vấn đề trong thời gian đa thức ngẫu nhiên.

Mặt khác, khi vấn đề ban đầu được trình bày (ví dụ ở đây ), nó thường được minh họa qua các biểu thức số học chỉ chứa các hằng số, biến, phép cộng và phép nhân. Các đa thức như vậy có tổng độ ở hầu hết các đa thức về độ dài của biểu thức đầu vào và đối với bất kỳ đa thức nào như vậy, kích thước của giá trị đầu ra là đa thức theo kích thước của các giá trị đầu vào. Nhưng vì đa thức bậc có nhiều nhất là gốc , điều này có tầm thường không? Chỉ cần đánh giá đa thức qua các tỷ lệ hợp lý tại bất kỳd d + $d$$d$ $d + 1$điểm khác biệt và kiểm tra xem kết quả bằng không tại mỗi điểm. Điều này sẽ chỉ mất thời gian đa thức. Điều này có đúng không? Nếu vậy, tại sao các biểu thức số học không có biểu thức con được chia sẻ thường được sử dụng làm ví dụ, khi chia sẻ là điều cần thiết cho sự khó khăn của vấn đề?

Điều đó không được biết là tầm thường .

Các đa thức có vô số rễ. (Khi một trong hai biến bằng 0, biến khác sẽ không ảnh hưởng đến giá trị của đa thức.)$x \cdot y$

Đối với một đa thức đơn biến , vâng, thật dễ dàng.$p(x)$

Đối với một đa thức đa biến , không, không có thuật toán nào như vậy hoạt động.$p(x_1,x_2,\dots,x_k)$

Cụ thể, khi bạn viết "đa thức bậc có nhiều nhất gốc", điều đó đúng với đa thức đơn biến , nhưng nói chung nó không đúng với đa thức đa biến. Ricky Demer đưa ra một ví dụ đơn giản: có độ hai, nhưng có vô số gốc rễ.d p ( x ) p ( x , y ) = x $d$$d$$p(x)$$p(x,y) = xy$

Đây là một cách tổng quát / trừu tượng hơn để hiểu tầm quan trọng / độ cứng của kiểm tra nhận dạng đa thức trong CS. một lý do kiểm tra nhận dạng đa thức đang được nghiên cứu mạnh mẽ bởi vì nó từ lâu đã được biết là có liên quan chặt chẽ với độ phức tạp của mạch boolean. hãy tưởng tượng lấy hai mạch boolean tùy ý và sau đó chuyển đổi chúng (nghĩa là về cơ bản thiết lập ánh xạ 1-1) thành đa thức đa biến. điều này không quá khó về cơ bản, người ta sử dụng các giá trị 0/1 để thể hiện sai / đúng và các cấu trúc được thiết lập trong các giấy tờ cũ. sau đó các gốc của đa thức tương ứng với các phép gán biến T / F thỏa mãn các công thức / mạch.

sau khi thiết lập này, PIT về cơ bản gần giống như một vấn đề khi xác định xem hai mạch nhị phân có tương đương hay không. Ngoài ra còn có các bằng chứng sâu khác (mới hơn) nói rằng độ phức tạp gần như tương đương với đa thức của nó. [ 1 ] vì vậy người ta kết thúc với một kết quả như sau: nếu một người có thể giải quyết PIT "nhanh chóng" thì có nghĩa là hai mạch lớn có thể so với sự tương đương "một cách nhanh chóng" là không thể. Vì vậy, một cách khó hiểu để hiểu vấn đề là nó gần tương đương với các vấn đề không cần thiết trong lý thuyết mạch boolean.