Chọn một tập hợp con của các cột trong ma trận , có dễ không?

Tôi muốn biết vấn đề này có thể giải quyết được đa thức hay không?

Vấn đề là: Cho một ma trận có giá trị nguyên không âm có kích thước và hai số nguyên không âm và . $2\times n$ $b<n$ $c$

Câu hỏi là: Tìm một tập hợp con của các cột của cardinality nhiều nhất sao cho tổng của mỗi hàng trên tập hợp con của các cột lớn hơn . Trả về không nếu không có tập hợp con như vậy tồn tại. $b$ $c$

Tôi không thể chỉ ra nó là NP-hard.

BIÊN TẬP:

Nỗ lực của tôi để chứng minh độ cứng : Theo đề xuất của Filmus, tôi đã cố gắng giảm (một trường hợp được đưa ra bởi tập hợp các số nguyên không âm ) cho vấn đề của tôi. Tôi đã thất bại tất nhiên. Suy nghĩ mà tôi không hiểu là phân vùng một bộ số nguyên không âm có liên quan đến vấn đề này như thế nào? Ý tôi là trong vấn đề của tôi, tôi muốn chọn một tập hợp con $\{a_1,\ldots,a_n\}$ $\{1,\ldots,n\}$ để tối đa hóa một cái gì đó. Tôi không thể thấy đây là một phân vùng. Tôi đã thử nhiều suy nghĩ nhưng tôi không thể viết tất cả ở đây:

Tôi đã cố gắng tạo ma trận chỉ với $a_{2i}$ ở hàng đầu tiên và $a_{2i+1}$ ở hàng thứ hai.
Tôi mệt mỏi để làm cho hàng đầu tiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và hàng thứ hai được sắp xếp theo thứ tự giảm dần.
Tôi đã cố gắng để chia $a_i$ thành hai giá trị $\alpha_i$ và $\beta_i$ như vậy mà $a_i=\alpha_i+\beta_i$ và sau đó tạo ma trận với $\alpha_i$ ở hàng đầu tiên và $\beta_i$ ở hàng thứ hai.

Ai đó có thể giải thích cho tôi, bằng trực giác, làm thế nào tôi có thể sử dụng PHẦN THAM GIA để hiển thị độ cứng NP của vấn đề của tôi? Bạn không phải đưa ra giải pháp.

Giải pháp của tôi để giải quyết vấn đề :

Tôi đã thử giải pháp này. Giả sử, không mất tính tổng quát rằng hàng đầu tiên của ma trận được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. (Hàng thứ hai của ma trận không phải được sắp xếp nếu không vấn đề là không đáng kể.)

Bây giờ, hãy cuối cùng $b$ các cột của ma trận.

Nếu tổng trên hàng đầu tiên nhỏ hơn $c$ hơn chúng ta đã làm xong Không có giải pháp tồn tại.
Khác, tổng của hàng đầu tiên trên cuối cùng cột lớn hơn , sau đó xem tổng của hàng thứ hai.
- Nếu tổng của hàng thứ hai so với hàng cuối cùng $b$ cột lớn hơn $c$ hơn chúng ta đã làm xong Trả lại cái cuối cùng $b$ cột.
- Khác, tổng của hàng đầu tiên trên $b$ cột lớn hơn $c$ nhưng tổng của hàng thứ hai trên $b$ cột ít hơn $c$ . Vâng, ở đây chúng tôi có một vấn đề.

algorithms complexity-classes

— Bánh quy
nguồn

Tại thời điểm này, thật khó để đưa ra một gợi ý mà không đưa ra giải pháp.

— Yuval Filmus

Tôi đã thêm giải pháp cho câu trả lời của tôi. Lần sau hãy cố gắng hơn trước khi bỏ cuộc.

— Yuval Filmus

Gợi ý: Hiển thị rằng đó là NP-hard bằng cách giảm từ PHẦN MỀM , biến thể của PHẦN THAM GIA trong đó chúng tôi yêu cầu cả hai phần phải có kích thước bằng nhau (xem câu hỏi trên math.se ).

Cho một ví dụ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ của PHẦN MỀM (với $x_i > 0$ ), xem xét một ví dụ về vấn đề của bạn với $b = n/2$ , $c = \sum_i (M+x_i)/2 - 1$ đủ lớn $M$ (Tôi nghĩ vậy $M = \max_i x_i$ nên đủ) và ma trận

[\begin{matrix} M + x_{1} & \dots & M + x_{n} \\ M + \frac{\sum_{i} x_{i}}{n / 2} - x_{1} & \dots & M + \frac{\sum_{i} x_{i}}{n / 2} - x_{n} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} M+x_1 & \cdots & M+x_n \\ M+\frac{\sum_i x_i}{n/2}-x_1 & \cdots & M+\frac{\sum_i x_i}{n/2}-x_n \end{bmatrix}.$

— Yuval Filmus
nguồn

Cảm ơn bạn. Tôi đã cố gắng làm điều đó bằng cách sử dụng PHẦN THAM GIA như bạn đề xuất. Cho một ví dụ của PHẦN,

A = {a_{1}, \dots, a_{n}}

$A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ . Tôi tạo một ví dụ về vấn đề của mình như sau:

b = n / 2

$b=n/2$ (Tôi cho rằng

n

$n$ là chẵn),

c = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} / 2

$c=\sum_{i=1}^na_i/2$ và ma trận được đưa ra bởi

[\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_n\\ a_1 & \ldots & a_n\end{bmatrix}$ . PHẦN THAM GIA được giải quyết nếu vấn đề được giải quyết trong đó tập hợp con của các cột là các chỉ số trong phân vùng thứ nhất hoặc phân vùng thứ hai. Tôi nghĩ rằng điều này là không chính xác, phải không?

— Brika

Ví dụ của bạn rất dễ giải quyết - lấy

n / 2

$n/2$ không âm lớn nhất

a_{i}

$a_i$ s, và xem nếu họ tổng hợp ít nhất

\sum_{i} a_{i} / 2

$\sum_i a_i/2$ . Vì vậy, không, nó không hoạt động. Hãy cố gắng viết một bằng chứng chính thức vào lần tới. Ngoài ra, hãy đảm bảo kiểm tra định nghĩa chính xác của PHẦN TÍNH (ví dụ trên Wikipedia).

— Yuval Filmus 4/2/2016

@Yuval. Ma trận có các mục không âm, phải không?

— zighalo

À - tôi đã bỏ lỡ điều kiện đó Nhưng có lẽ mức giảm có thể được điều chỉnh bằng cách nào đó.

— Yuval Filmus

@Brika Không nhất thiết. Ý tưởng hoạt động nếu sửa đổi phù hợp.

— Yuval Filmus