Cơ sở tối thiểu để thiết lập các vectơ nhị phân sử dụng XOR

Tôi sẽ ngạc nhiên nếu đây không phải là một vấn đề được nghiên cứu kỹ lưỡng, nhưng tôi không chắc chắn nên tìm kiếm điều gì khác vào thời điểm này: bạn được cung cấp một bộ -vector nhị phân . Vấn đề là tìm một tập hợp nhị phân -vector B \ subset \ {0,1 \} ^ n khác , với kích thước tối thiểu | B | , sao cho mọi vectơ trong S có thể được biểu thị bằng kết quả XOR của một số tập con của B (vì vậy B về cơ bản là cơ sở cho S sử dụng XOR thay vì bổ sung và chỉ cho phép các hệ số nhị phân trong tổ hợp tuyến tính).$n$$S \subset \{0,1\}^n$$n$$B \subset \{0,1\}^n$$|B|$$S$$B$$B$$S$

Theo một cách nào đó, đây là một dạng PCA cho các vectơ nhị phân. Trong khi tìm kiếm tài liệu về vấn đề này, tôi đã bắt gặp Vấn đề cơ bản rời rạc cũng được thảo luận trong luận án tiến sĩ này , có vẻ liên quan chặt chẽ. Thay vì XOR, nó sử dụng OR và ở đây $|B|$là một đầu vào bổ sung (và nhiệm vụ là giảm thiểu lỗi khi biểu diễn $S$ bằng các vectơ từ $B$ ). Vấn đề này là NP-hard. Có áp dụng tương tự cho vấn đề tôi đã trình bày ở trên, hoặc có một giải pháp hiệu quả? Bất kỳ con trỏ đến văn học hiện tại sẽ được nhiều đánh giá cao.

Nếu bạn coi các vectơ của mình là trên trường chứ không phải trên tập , thì điều bạn yêu cầu là tìm cơ sở cho khoảng của một tập các vectơ. Đây là một vấn đề được nghiên cứu kỹ trong đại số tuyến tính, mà bạn có thể biết giải pháp cho. (Một lựa chọn là loại bỏ Gaussian.)$GF(2)$$\{0,1\}$