Tổng lớn nhất chia hết cho n

Tôi đã hỏi câu hỏi này trên StackOverflow , nhưng tôi nghĩ đây là một nơi thích hợp hơn.

Đây là một vấn đề từ Giới thiệu về khóa học thuật toán :

Bạn có một mảng với số nguyên dương (mảng không cần phải được sắp xếp hoặc các phần tử duy nhất). Đề xuất thuật toán để tìm tổng các phần tử lớn nhất chia hết cho .$a$$n$$O(n)$$n$

Ví dụ: . Câu trả lời là (với các yếu tố )$a = [6, 1, 13, 4, 9, 8, 25], n = 7$$56$$6, 13, 4, 8, 25$

Việc tìm kiếm nó trong tương đối dễ dàng bằng cách sử dụng lập trình động và lưu trữ số tiền lớn nhất với phần còn lại .$O(n^2)$$0, 1, 2,..., n - 1$

Ngoài ra, nếu chúng ta hạn chế sự chú ý vào một chuỗi các yếu tố liền kề, bạn có thể dễ dàng tìm thấy chuỗi tối ưu như vậy trong thời gian , bằng cách lưu trữ một phần tổng modulo : let , với mỗi phần còn lại nhớ chỉ số lớn nhất mà S [j] \ equiv r \ pmod {n} , và sau đó cho mỗi i bạn xem xét S [j] -S [i] nơi j là chỉ số tương ứng với r = S [i] \ bmod n .n S [ i ] = a [ 0 ] + a [ 1 ] + ⋯ + a [ i ] r j S [ j ] ≡ $O(n)$$n$$S[i]=a[0]+a[1]+\dots + a[i]$$r$$j$$S[j] \equiv r \pmod{n}$$i$$S[j]-S[i]$$j$$r=S[i] \bmod n$

Nhưng có một giải pháp thời gian $O(n)$ cho trường hợp chung không? Bất kỳ đề xuất sẽ được đánh giá cao! Tôi xem xét điều này có một cái gì đó để đối phó với đại số tuyến tính nhưng tôi không chắc chính xác những gì.

Ngoài ra, điều này có thể được thực hiện trong thời gian $O(n \log n)$ không?

Dưới đây là một vài ý tưởng ngẫu nhiên:

• Thuật toán lập trình động có thể được lật để tìm kiếm một khoản tiền nhỏ nhất thay vì một khoản tiền lớn nhất. Cuối cùng, bạn chỉ cần tìm một tổng số tương ứng với phần còn lại của tổng của toàn bộ mảng, thay vì một đồng dư bằng không. Nếu chúng ta xử lý các phần tử theo thứ tự tăng dần, điều này đôi khi cho phép thuật toán động kết thúc trước khi xử lý toàn bộ mảng.

  Chi phí sẽ là nếu chúng tôi xử lý các phần tử . Có không một giới hạn thấp hơn của trên thuật toán này bởi vì chúng tôi không cần phải sắp xếp tất cả các yếu tố. Chỉ mất thời gian để có được phần tử nhỏ nhất.k Ω ( n log n ) O ( n log k ) $O(n k)$$k$$\Omega(n \log n)$$O(n \log k)$$k$

• Nếu chúng ta quan tâm đến tập hợp với kích thước lớn hơn, thay vì tập hợp có tổng tiền lớn nhất, chúng ta có thể sử dụng phép nhân đa thức dựa trên biến đổi nhanh để giải quyết vấn đề trong thời gian. Tương tự như những gì được thực hiện trong 3SUM khi phạm vi miền bị giới hạn. (Lưu ý: sử dụng bình phương lặp lại để thực hiện tìm kiếm nhị phân, nếu không bạn sẽ nhận được trong đó là số phần tử bị bỏ qua.)O ( n k ( log n ) ( log log n ) ) $O(n (\log n)^2 (\log \log n))$$O(n k (\log n) (\log \log n))$$k$

• Khi là hợp số và hầu hết tất cả các phần dư là một trong nhiều yếu tố của , thời gian đáng kể có thể được lưu lại bằng cách tập trung vào phần còn lại không phải là bội số của yếu tố đó.$n$$n$

• Khi phần còn lại rrất phổ biến hoặc chỉ có một vài phần còn lại, việc theo dõi 'khe mở tiếp theo nếu bạn bắt đầu từ đây và tiếp tục tiến lên r' thông tin có thể tiết kiệm rất nhiều điểm quét để nhảy vào các điểm mở thời gian.

• Bạn có thể cạo một yếu tố nhật ký bằng cách chỉ theo dõi khả năng tiếp cận và sử dụng mặt nạ bit (trong thuật toán động lật), sau đó quay lại sau khi bạn đạt được mục tiêu còn lại.

• Thuật toán lập trình động rất phù hợp để được chạy song song. Với bộ xử lý cho từng khe đệm, bạn có thể xuống . Ngoài ra, bằng cách sử dụng chiều rộng, và chia và chinh phục tập hợp thay vì tổng hợp lặp, chi phí độ sâu mạch có thể giảm xuống .O ( n 2 ) O ( log 2 n $O(n)$$O(n^2)$$O(\log^2 n)$

• (Meta) Tôi hoàn toàn nghi ngờ rằng vấn đề bạn đưa ra là về các khoản tiền tiếp giáp nhau . Nếu bạn liên kết với vấn đề thực tế, sẽ dễ dàng xác minh điều đó. Mặt khác, tôi rất ngạc nhiên bởi vấn đề này khó khăn đến mức nào, vì nó đã được chỉ định trong một khóa học gọi là "Giới thiệu về thuật toán". Nhưng có lẽ bạn đã che đậy một mánh khóe trong lớp khiến nó trở nên tầm thường.

Thuật toán đề xuất của tôi diễn ra như sau:

Một tổng chia hết cho n nếu bạn chỉ thêm các triệu hồi là bội số của n.

Trước khi bắt đầu, bạn tạo một hashmap với int là khóa và danh sách các chỉ mục là giá trị. Bạn cũng tạo một danh sách kết quả có chứa các chỉ số.

Sau đó, bạn lặp qua mảng và thêm mọi chỉ số mà mod n bằng 0 vào danh sách kết quả của bạn. Đối với mọi chỉ số khác, bạn làm như sau:

Bạn trừ giá trị mod n của chỉ số này từ n. Kết quả này là chìa khóa cho hashmap của bạn, nơi lưu trữ các chỉ số cho các phần tử có giá trị bắt buộc. Bây giờ, bạn thêm chỉ mục này vào danh sách trong hashmap và tiếp tục.

Sau khi bạn hoàn thành việc lặp qua mảng, bạn tính toán đầu ra. Bạn làm điều này bằng cách sắp xếp từng danh sách trong hashmap theo giá trị mà chỉ mục trỏ tới. Bây giờ bạn xem xét mọi cặp trong hàm băm tổng hợp lên đến n. Vì vậy, nếu n = 7, bạn tìm kiếm hàm băm cho 3 và 4. Nếu bạn có một mục trong cả hai, bạn lấy hai giá trị lớn nhất xóa chúng khỏi danh sách của chúng và thêm chúng vào danh sách kết quả của bạn.

Đề xuất cuối cùng: vẫn chưa kiểm tra thuật toán, hãy viết một testcase chống lại nó bằng thuật toán vũ lực.

sử dụng phương thức DP này từ ( /programming/4487438/maximum-sum-of-non-consceed-elements?rq=1 ):

Cho một mảng A [0..n], đặt M (i) là giải pháp tối ưu bằng cách sử dụng các phần tử có chỉ số 0..i. Khi đó M (-1) = 0 (được sử dụng trong lần tái phát), M (0) = A [0] và M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i ]) cho i = 1, ..., n. M (n) là giải pháp chúng tôi muốn. Đây là O (n) . Bạn có thể sử dụng một mảng khác để lưu trữ lựa chọn nào được thực hiện cho mỗi bài toán con và do đó phục hồi các phần tử thực tế đã chọn.

Thay đổi đệ quy thành M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i]) sao cho chỉ được lưu trữ nếu chia hết cho N