Heapable Meldable Heap - Chiều cao dự kiến

Heaps Meldable ngẫu nhiên có một "meld" hoạt động, sau đó chúng tôi sử dụng để xác định tất cả các hoạt động khác, bao gồm cả chèn.

Câu hỏi là, chiều cao dự kiến của cây đó với nút là bao nhiêu? $n$

Định lý 1 của Gambin và Malinkowski, Hàng đợi ưu tiên có thể kết hợp ngẫu nhiên (Kỷ yếu của SOFSEM 1998, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính tập 1521, trang 344 cách349, 1998; PDF ) đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này bằng chứng. Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao chúng ta có thể viết:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

Đối với tôi chiều cao của cây là

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

mà tôi có thể mở rộng thành:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

Xác suất tối đa chiều cao của hai cây con bằng có thể được viết lại bằng cách sử dụng định luật xác suất tổng: $k$

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

Vì vậy, cuối cùng tôi nhận được:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

Đây là nơi tôi đang bị mắc kẹt. Tôi có thể thấy rằng ít nhiều bằng (Tuy nhiên, chúng tôi cần nhiều nhất là ) . Nhưng ngoại trừ việc không có gì dẫn đến công thức ngay từ đầu. $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

Độ cao của cây con dường như không độc lập với tôi.

Cảm ơn vì sự giúp đỡ.

— Mateusz Wyszyński
nguồn

Trong bài báo, không phải là chiều cao. Đó là chiều dài của một bước đi ngẫu nhiên từ gốc trong một cây nhị phân đầy đủ (họ khẳng định mỗi lá là "không"), vì vậy biểu thức họ có là điều đúng đắn. $h_Q$

Ngoài ra, bạn có thể tránh cảm ứng. Xác suất kết thúc ở một lá cụ thể của độ sâu chỉ là . Vì vậy, chiều dài dự kiến của đi bộ là $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

mà entropy của một bản phân phối một tập hợp kích thước. $|\text{leaves}(Q)|$

— Louis
nguồn

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn tại sao tôi không phải sử dụng cảm ứng? Tôi đồng ý với công thức cho chiều dài dự kiến. Tôi chỉ không thấy lý do tại sao nó phải là O (logn)? Bạn có ý nghĩa gì bởi entropy của một phân phối trên chuỗi?

— Mateusz Wyszyński

Bởi vì entropy của một phân phối trên một tập hợp kích thước được biết đến là được tối đa hóa bởi một phân phối thống nhất, trong trường hợp đó là .

n

$n$

\log n

$\log n$

— Louis