Lý thuyết loại tối giản trực tiếp

Tôi ngạc nhiên khi mọi người tiếp tục thêm các loại mới trong các lý thuyết loại nhưng dường như không ai đề cập đến một lý thuyết tối thiểu (hoặc tôi không thể tìm thấy nó). Tôi nghĩ rằng các nhà toán học thích những thứ tối thiểu, phải không?

Nếu tôi hiểu chính xác, trong một lý thuyết loại với một sự Proptrừu tượng, ab -trừu tượng và-đủ. Bằng cách nói đủ, tôi có nghĩa là nó có thể được sử dụng như logic trực giác. Các loại khác có thể được định nghĩa như sau:

$$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\ $$

Câu hỏi đầu tiên của tôi là, làm họ ( λ, Π) thực sự là đủ? Câu hỏi thứ hai của tôi là, chúng ta cần gì tối thiểu nếu chúng ta không có sự bắt buộc Prop, chẳng hạn như trong MLTT? Trong MLTT, Church / Scott / bất kỳ mã hóa nào không hoạt động.

Chỉnh sửa: liên quan

Để giải thích về sự làm rõ của gallais, một lý thuyết loại với Prop không phù hợp và các loại phụ thuộc, có thể được xem như là một hệ thống con của phép tính các công trình, thường gần với lý thuyết loại của Giáo hội . Mối quan hệ giữa lý thuyết loại của Church và CoC không đơn giản, nhưng đã được khám phá, đáng chú ý là bài viết xuất sắc của Geuvers .

Đối với hầu hết các mục đích, mặc dù, các hệ thống có thể được coi là tương đương. Thật vậy, bạn có thể nhận được rất ít, đặc biệt nếu bạn không quan tâm đến logic cổ điển, thì điều duy nhất bạn thực sự cần là một tiên đề vô tận : không thể chứng minh được ở CoC rằng bất kỳ loại nào cũng có nhiều hơn 1 yếu tố! Nhưng chỉ với một tiên đề biểu thị rằng một số loại là vô hạn, giả sử một loại số tự nhiên với nguyên lý cảm ứng và tiên đề , bạn có thể nhận được khá xa: hầu hết toán học đại học có thể được chính thức hóa trong hệ thống này (loại, nó rất khó để làm một số việc mà không loại trừ giữa).$0\neq 1$

Nếu không có Prop dự phòng, bạn cần thêm một chút công việc. Như đã đề cập trong các ý kiến, một hệ thống extensional (một hệ thống với extensionality chức năng trong mối quan hệ bình đẳng) có thể nhận được bằng cách chỉ với và Π -types, B o o l , các loại trống và đơn vị ⊥ và ⊤ , và W-loại. Trong cài đặt cường độ không thể thực hiện được: bạn cần nhiều cuộn cảm hơn. Lưu ý rằng để xây dựng các loại W hữu ích, bạn cần có khả năng xây dựng các loại bằng cách loại bỏ B o o l như vậy:$\Sigma$$\Pi$$\mathrm{Bool}$$\bot$$\top$$\mathrm{Bool}$

$$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$$

Để làm siêu toán học, có lẽ bạn sẽ cần ít nhất một vũ trụ (giả sử, để xây dựng một mô hình Số học Heyting).

Tất cả điều này có vẻ như rất nhiều, và thật hấp dẫn khi tìm kiếm một hệ thống đơn giản hơn, không có sự thiếu sót điên rồ của CoC, nhưng vẫn tương đối dễ dàng để viết ra trong một vài quy tắc. Một nỗ lực gần đây để làm như vậy là hệ thống$\Pi\Sigma$ được mô tả bởi Altenkirch et al . Nó không hoàn toàn thỏa mãn, vì kiểm tra tính tích cực cần thiết cho tính nhất quán không phải là một phần của hệ thống "như hiện tại". Các siêu lý thuyết vẫn cần phải được bổ sung.

Một tổng quan hữu ích là bài viết ZF có phải là hack không? bởi Freek Wiedijk, thực sự so sánh các số cứng trên tất cả các hệ thống này (số quy tắc và tiên đề).

Vấn đề với mã hóa của Giáo hội là bạn không thể có được các nguyên tắc cảm ứng cho các loại của mình, nghĩa là chúng khá vô dụng khi chứng minh các tuyên bố về chúng.

Về mặt tối thiểu của hệ thống, một con đường được đề cập trong các ý kiến ​​là sử dụng các thùng chứa và (W / M), tuy nhiên chúng khá mở rộng nên không thực sự thuận tiện khi làm việc trong các hệ thống như Coq hoặc Agda.

$\Pi$$\Sigma$$\mu$$\nu$

$\mu$$\nu$