Có thể thực hiện hàm * lớn hơn * chỉ bằng cách sử dụng phép cộng, phép con và phép nhân?

Tất cả các giá trị là từ một trường hữu hạn . Tôi muốn viết một hàm lớn hơn như thế này $Z_t$

$GT(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{if } x > y, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

chỉ sử dụng phép cộng, phép nhân, phép trừ và tốt nhất là không chia.

Hàm bình đẳng

$EQU(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{if } x == y, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

có thể được tính như thế này

$EQU(x,y) = 1 - (x-y)^p$ , trong đó p là hàm tổng Euler vì là số nguyên tố. $p=phi(t)=t-1$ $t$

Một hàm lớn hơn hàm có thể được viết theo cách tương tự không?

Hàm lớn hơn sẽ được sử dụng cho ứng dụng mã hóa đồng cấu để tìm giá trị nguyên tối đa từ một vectơ số nguyên được mã hóa.

algorithms linear-algebra

— người dùng2991856
nguồn

Phương trình cuối cùng của bạn không hoạt động. (Chỉ cần cố gắng x và y rằng có sự khác biệt hơn 1.)

Không có hợp lý lớn hơn trên các lĩnh vực hữu hạn.

— k.stm

@RickyDemer Nó hoạt động, nếu người ta thay thế bằng : Trong trường hữu hạn , với mọi với , .

t

$t$

t - 1

$t-1$

ℤ_{t}

$ℤ_t$

α \in ℤ_{t}

$α ∈ ℤ_t$

α \neq 0

$α ≠ 0$

α^{t - 1} = 1

$α^{t-1} = 1$

— k.stm

Tôi muốn sử dụng hàm lớn hơn hàm để so sánh đồng hình giữa các tin nhắn từ một số không gian Z_t, trong đó t lớn hơn 2. Trong phần 3 của bài báo này acad.ro/sectii2002/proceedings/doc2015-3s/08-Togan.pdf là đưa ra đa thức cho lớn hơn hàm cho các giá trị nhị phân. Tôi muốn chức năng tương tự nhưng đối với các giá trị nguyên, nếu có thể được tính toán.

— user2991856 19/03/2016

Điều này có liên quan gì đến CS? Tại sao điều này không có trên MathOverflow hoặc Toán học ?

— mèo

Mọi hàm trên một trường hữu hạn có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng đa thức bậc riêng lẻ nhiều nhất là . $GF(q)$ $q-1$

Thật vậy, như bạn đã đề cập, Là một đa thức bằng khi và chỉ khi . Do đó chúng ta có thể đại diện cho bất kỳ chức năng trong các biến theo hình thức sau: Vì kích thước của không gian của các biến là và số lượng đơn thức của mức độ riêng lẻ nhiều nhất là cũng là , nên chúng tôi kết luận rằng biểu diễn này là duy nhất. $1-x^{q-1} = [\![x=0]\!]$ $1$ $x=0$ $f\colon GF(q)^n \to GF(q)$ $x_1,\ldots,x_n$

\sum_{t_{1}, \dots, t_{n} \in G F (q)} f (t_{1}, \dots, t_{n}) \prod_{i = 1}^{n} (1 - (x_{i} - t_{i})^{q - 1}) .

$\sum_{t_1,\ldots,t_n \in GF(q)} f(t_1,\ldots,t_n) \prod_{i=1}^n \left(1-(x_i-t_i)^{q-1}\right).$

n

$n$

q^{n}

$q^n$

q - 1

$q-1$

q^{n}

$q^n$

— Yuval Filmus
nguồn

Huh? dường như không trả lời câu hỏi nó dường như khẳng định trong một nghĩa nào đó tất cả các chức năng có thể được xây dựng ... nhưng dường như không để mô tả làm thế nào để xây dựng nó (một đặc biệt, hoặc một trong các yêu cầu) ...

— vzn

@vzn Nếu tất cả các chức năng có thể được xây dựng, thì mỗi chức năng cụ thể có thể được.

— Yuval Filmus

Mô tả chức năng lớn hơn sẽ được đánh giá cao, vì tôi chưa tìm ra cách xây dựng nó.

— user2991856

Tôi đưa ra một công thức hoạt động cho mọi chức năng . Bạn chỉ cần thay thế chức năng của bạn . Kết quả sẽ không nhất thiết phải đẹp, nhưng nó sẽ là một đa thức tính toán hàm của bạn.

f

$f$

f

$f$

— Yuval Filmus

Mặc dù vậy, có lẽ, không có chức năng tính toán hợp lý trên . Chúng tôi sẽ không biết điều đó cho đến khi chúng tôi giải quyết một định nghĩa.

>

$>$

G F (q)

$GF(q)$

— Rick Decker