Phiên bản xây dựng của tính quyết định?

Hôm nay vào bữa trưa, tôi đã đưa ra vấn đề này với các đồng nghiệp của mình và thật ngạc nhiên, lập luận của Jeff E. rằng vấn đề có thể quyết định đã không thuyết phục được họ ( đây là một bài viết liên quan chặt chẽ về dòng chảy toán học). Một tuyên bố vấn đề dễ giải thích hơn ("là P = NP?") Cũng có thể quyết định: có hoặc không, và do đó, một trong hai TM luôn đưa ra các câu trả lời quyết định vấn đề. Chính thức, chúng ta có thể quyết định tập : hoặc máy chỉ xuất cho đầu vào và nếu không thì quyết định hoặc máy thực hiện điều đó cho đầu vào .1 1 0 $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

Một trong số họ đã đưa ra ý kiến ​​phản đối về cơ bản sự phản đối này: nếu tiêu chí về tính quyết định yếu đến mức nào - ngụ ý rằng mọi câu hỏi mà chúng ta có thể chính thức hóa như một ngôn ngữ mà chúng ta có thể thể hiện là hữu hạn đều có thể quyết định được - thì chúng ta nên chính thức hóa một tiêu chí không đưa ra bất kỳ vấn đề nào với nhiều câu trả lời có thể có thể chính thức theo cách này có thể quyết định được. Mặc dù những điều sau đây có thể là một tiêu chí mạnh mẽ hơn, tôi đề nghị rằng có lẽ điều này có thể được thực hiện chính xác bằng cách yêu cầu sự quyết đoán đó phụ thuộc vào việc có thể hiển thị TM, về cơ bản đề xuất một quan điểm trực giác về vấn đề (mà tôi không nghiêng về - cũng không làm bất kỳ đồng nghiệp của tôi, tất cả trong số họ chấp nhận luật loại trừ giữa).

Mọi người đã chính thức hóa và có thể nghiên cứu một lý thuyết mang tính xây dựng về tính quyết định?

Tôi nghĩ rằng câu hỏi bạn đang cố gắng hỏi là "lý thuyết tính toán có mang tính xây dựng không?". Và đây là một câu hỏi thú vị, như bạn có thể thấy trong cuộc thảo luận này trong danh sách gửi thư của Tổ chức Toán học.

Không có gì đáng ngạc nhiên, nó đã được xem xét, vì rất nhiều lý thuyết đệ quy được phát triển bởi những người có tính nhạy cảm mang tính xây dựng và ngược lại. Xem ví dụ như cuốn sách của Besson và Giới thiệu đáng kính về Siêu dữ liệu . Rõ ràng là một vài chương đầu tiên của lý thuyết đệ quy tồn tại khi chuyển sang một thiết lập mang tính xây dựng với những thay đổi tối thiểu: ví dụ định lý snm, định lý Rice hay định lý đệ quy Kleene tồn tại không thay đổi.

Sau những chương đầu tiên, mọi thứ trở nên khó khăn hơn. Cụ thể, các cấp cao hơn của hệ thống phân cấp số học thường được xác định bởi một khái niệm về sự thật. Cụ thể, các định lý được sử dụng rộng rãi như Định lý cơ sở thấp dường như rõ ràng là không mang tính xây dựng.

Tuy nhiên, có lẽ một phản ứng thực tế hơn là những "ngôn ngữ có thể tính toán nghịch lý" này chỉ đơn giản là một sự bình dị, có thể (và có!) Đã được nghiên cứu rất dài, giống như các tập thực tế không thể đo lường được, nhưng đó là một sự ngạc nhiên ban đầu. vượt qua, người ta có thể chuyển sang những điều thú vị hơn.

Trong logic cổ điển, mọi phát biểu là đúng hoặc sai trong bất kỳ mô hình nào. Ví dụ, bất kỳ tuyên bố bậc nhất nào về số tự nhiên là đúng hoặc sai trong "thế giới thực" (được gọi trong ngữ cảnh này là số học thực ). Thế còn định lý bất toàn của Gôdel thì sao? Nó chỉ nói rằng không có tiên đề vô số đệ quy của số học thực sự là hoàn thành.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$cho đến khi một cái được tìm thấy, và sau đó tiến hành tương ứng. Chúng tôi có thể chứng minh rằng máy này chấp nhận ngôn ngữ của bạn, mặc dù chúng tôi vẫn không biết chính xác ngôn ngữ đó là gì!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(từ chối trách nhiệm, một câu trả lời mờ cho một câu hỏi mờ có thể phù hợp hơn với cstheory ). khả năng xây dựng là một "vấn đề lớn" trong toán học lý thuyết nhưng nó xuất hiện đặc biệt là trong các bối cảnh liên tục như nghịch lý Banach-Tarski bán nguyệt . những nghịch lý nói chung dường như không xuất hiện trong "CS" rời rạc hơn cho đến nay " . vậy khả năng xây dựng (tương tự / song song) trong CS là gì? Câu trả lời dường như không quá rõ ràng. Đây là một khái niệm bắt nguồn từ nghiên cứu toán học nhiều hơn CS và cả hai dường như không bị ràng buộc với nhau trên mấu chốt đặc biệt này quá nhiều "cho đến nay" .

một câu trả lời là lý thuyết về tính quyết định thực sự có vẻ là một biến thể của khả năng xây dựng, tức là nó là một phương pháp nghiêm ngặt để xác định tập hợp nào có thể tính toán được dường như được kết nối chặt chẽ.

khả năng xây dựng của trái tim liên quan đến một số vấn đề "độc lập với ZFC" và những khu vực đó được xem xét theo chiều dài trong bài viết này của Aaronson wrt P vs NP, P vs NP có độc lập chính thức không? .

nó không thực sự chỉ ra rằng "nghịch lý" dường như chỉ ra các vấn đề về khả năng xây dựng, nhưng người ta có thể coi đó là một hướng dẫn sơ bộ cho một sự tương tự thô như trong bài báo của Aaronsons, nơi ông xem xét các kết quả tiên tri dường như có một hương vị "nghịch lý" đặc biệt là Baker Gill Solovay 1975 kết quả mà thầy mo tồn tại cả hai sao cho P ^Một = NP ^Một và P ^B ≠ NP ^B . nghịch lý khác như thms là định lý Blum gap và speedup .

cũng chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên mà CS tập trung vào các hàm xây dựng "thời gian / không gian" trong các định lý phân cấp thời gian / không gian cơ bản của nó? (sau đó loại trừ nghịch lý giống Blum gần như "theo thiết kế" ?)

một câu trả lời khác là điều này đang được nghiên cứu / nghiên cứu tích cực, ví dụ như trong phát hiện này. khả năng xây dựng được biết là gắn liền với "các hồng y lớn" trong toán học: Chiến lược giành chiến thắng cho các trò chơi vô hạn: từ các hồng y lớn đến khoa học máy tính / Ressayre.

Sử dụng tiên đề lớn của trò chơi shar sharps Martin Martin đã chứng minh tính quyết định phân tích: sự tồn tại của một chiến lược chiến thắng cho một trong những người chơi trong mọi trò chơi vô tận thông tin hoàn hảo giữa hai người chơi, với điều kiện bộ chiến thắng của một trong những người chơi tình cờ là một phân tích một. Tôi sửa đổi và bổ sung bằng chứng của mình để có được bằng chứng mới về định lý Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington về tính xác định trạng thái hữu hạn: sự tồn tại của một chiến lược chiến thắng được tính toán bởi một bộ máy trạng thái hữu hạn, khi các bộ chiến thắng của người chơi là hữu hạn nhà nước chấp nhận.