Đổ đầy thùng với cặp bóng

Một thùng được gọi là đầy đủ nếu nó chứa ít nhất quả bóng. Mục tiêu của chúng tôi là làm cho càng nhiều thùng càng tốt.$k$

Trong kịch bản đơn giản nhất, chúng tôi được cung cấp bóng và có thể sắp xếp chúng tùy ý. Trong trường hợp đó, rõ ràng cách tốt nhất chúng ta có thể làm là chọn thùng tùy ý và đặt bóng vào mỗi một trong số chúng.$n$$\lfloor n/k \rfloor$$k$

Tôi quan tâm đến kịch bản sau đây: chúng tôi được tặng cặp bóng. Chúng ta phải đặt hai quả bóng của mỗi cặp vào hai thùng khác nhau. Sau đó, một kẻ thù đến và loại bỏ một quả bóng từ mỗi cặp. Chúng ta có thể làm gì để có số lượng thùng đầy đủ tối đa có thể sau khi loại bỏ?$n$

Một chiến lược đơn giản là: chọn cặp thùng . Đổ đầy mỗi cặp bin với cặp bóng (mỗi thùng chứa quả bóng, mỗi quả bóng một cặp). Sau đó, bất kể đối thủ của chúng ta loại bỏ những gì, chúng ta có trong mỗi cặp bin ít nhất một thùng đầy đủ.$\lfloor n/(2k-1) \rfloor$$2k-1$$2k-1$

Chúng ta có một chiến lược đạt được số lượng thùng đầy đủ lớn hơn (nhiều hơn ) không?$\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

TL; DR - Không, không có chiến lược nào tốt hơn chiến lược đơn giản. Đây là ý chính của bằng chứng. Khi không có đủ bóng, sẽ có một "đường bóng" từ thùng đến thùng có nhiều nhất k - 2 bóng. Kẻ thù có thể chuyền một quả bóng từ thùng đầy đó đến thùng đầy ít hơn dọc theo đường đi đó, có thể được thực hiện lặp đi lặp lại cho đến khi số lượng thùng k -full bị giảm.$k$$k-2$$k$

---

Cải cách trong lý thuyết đồ thị

Giả sử chúng ta đưa ra một đồ thị hữu hạn đơn giản với một hàm w : E → Z ≥ 0 . Chúng tôi nói có những quả bóng w ( e ) ở cạnh e . Đặt E 2 là tập hợp (cạnh được đánh dấu cuối) { ( e , v ) | e ∈ E , v ∈ e } . Nếu d : E 2 → Z ≥ 0 thỏa mãn$G(V,E)$$w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$$w(e)$$e$$E_2$$\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$$d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ cho mọi cạnh e = { v 1 , v 2 } , chúng tôi nói rằng d làphân phối w . Bất kỳ w -distributing chức năng d gây ra một chức năng, mà chúng tôi sử dụng cùng một biểu tượng, d : V → Z ≥ 0 , d ( v ) $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$$e=\{v_1,v_2\}$$d$$w$$w$$d$$d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ . Chúng ta nói rằng bóng d ( v ) nằm trong v . Cho k ∈ Z > 0 , cho F k ( d ) = # { v ∈ V | d ( v ) ≥ k } , số lượng k -full đỉnh bởi d .$d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$$d(v)$$v$$k\in\Bbb Z_{\gt0}$$F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$$k$$d$

(Erel-Apass lý) Đối với bất kỳ đồ thị hữu hạn đơn giản và w : E → Z ≥ 0 , chúng ta có Σ e ∈ E w ( e ) ≥ ( 2 k - 1 ) phút w -distributing  d F k ( d $G(V,E)$$w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$$\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Hãy tưởng tượng mỗi đỉnh là một thùng. Với mỗi cạnh , các cặp bóng w ( e ) được đặt vào v 1 và v 2 , mỗi cặp nhận được bóng w ( e ) . Trong số các cặp bóng w ( e ) này , đối thủ có thể lấy đi các quả bóng d ( e , v 2 ) từ v 1 và d ( e , v $e=\{v_1,v_2\}$$w(e)$$v_1$$v_2$$w(e)$$w(e)$$d(e,v_2)$$v_1$ bóng từ v 2 . Kết quả cuối cùng giống như nếu, được cung cấp tất cả các thùng trống ban đầu, cho mỗi cạnh e = { v 1 , v 2 } , cácquả bóng w ( e ) được đặt vào đó và sau đó, d ( e , v 1 ) và d ( e , v 2 ) bóng được phân phối cho v 1 và v 2 tương ứng bởi đối thủ. Do đó,định lý Erel-Apass nói rằng để đảm bảo$d(e,v_1)$$v_2$$e=\{v_1, v_2\}$$w(e)$$d(e,v_1)$$d(e,v_2)$$v_1$$v_2$ thùng đầy đủ sau khi loại bỏ đối thủ thông minh, ít nhất ( 2 k - 1 ) t cặp bóng là cần thiết. $t$$(2k-1)t$Nói cách khác, một chiến lược tối ưu để có số lượng thùng đầy đủ tối đa còn lại thực sự là "chiến lược đơn giản", liên tục lấp đầy một cặp thùng khác nhau với cặp bóng cho đến khi chúng ta không có đủ bóng để lặp lại .$2k-1$

---

Chứng minh định lý

Vì mâu thuẫn, hãy để và w là một ví dụ mẫu có số đỉnh là nhỏ nhất trong số tất cả các mẫu phản. Đó là, có w- phân phối m sao cho F k ( m ) là tối thiểu trong số tất cả F k ( d ) của hàm w- phân phối d . Hơn nữa, Σ e ∈ E w ( e ) < ( 2 k - 1 $G(V,E)$$w$$w$$m$$F_k(m)$$F_k(d)$$w$$d$

$$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$$

Hãy . Hãy V ℓ = { v ∈ V | m ( v ) ≥ k } . Vì vậy, F k ( m ) = # V ℓ .$V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$$V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$$F_k(m)=\#V_\ell$

Yêu cầu bồi thường một: . $V_s\neq\emptyset$
Bằng chứng yêu cầu một. Giả sử nếu không thì trống. Σ v ∈ V m ( v ) = ( k - 1 ) # V + Σ v ∈ V ( m ( v ) - ( k - 1 ) ) ≥ ( k - 1 ) # V + # V ℓ$V_s$ Chúng ta hãy cũng tái sử dụng w là một hàm từ V đến Z ≥ 0 đến nỗi w ( v ) = Σ v ∈ e w ( e ) cho bất kỳ v ∈ V . ∑ v ∈ V w ( v

$$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$$ $w$$V$$\Bbb Z_{\ge 0}$$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$$v\in V$ Vì vậy, phải có một đỉnhbmàw(b)≥2k-1. $$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$$ $b$$w(b)\ge 2k-1$

Consider the induced setup $G'(V', E')$ and $w'$, where $V'=V\setminus\{b\}$, $G'(V', E')$ is the induced graph $G[V']$ and where $w'=w|_{E'}$. For any $w'$-distributing function $d'$, we can extend it to a $w$-distributing function $d_{d'}$ where $d_{d'}$ is the same as $d'$ on $E'$ while $d_{d'}(e, b)=w(e)$ for every edge $e$ adjacent to $b$. Note that $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ since $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$. Then

$$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$$ So, $G'(V', E')$ and $w'$ is a counterexample whose number of vertices is smaller than the number of vertices in $G$. That cannot true by our assumption about $G(V,E)$ and $w$. So claim one is proved.

---

For any vertex $v$, define $v$ $d$-reachable from vertex $u$ if there is a path $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$, $m\ge0$ such that $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$. Let $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$.

Claim two: $V_r = V$
Proof of claim two: Suppose $V_r\neq V$. For any vertex $v\in V_r$ and $u\notin V_r$, since we cannot reach $u$ from $v$, if $\{v, u\}$ is an edge, then $w(\{v, u\}, v) = 0.$ Consider the induced setup $G'(V', E')$ and $w'$, where $v'=V_r$, $G'(V', E')$ is the induced graph $G[V']$ and where $w'=w|_{E'}$. For any $w'$-distributing function $d'$, we can extend it to a $w$-distributing function $d_{d'}$ where $d_{d'}$ is the same as $d'$ on $E'$ and the same as $m$ on other edges. Note that $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ since all vertices with no less than $k$ balls inside are in $V_\ell\subset V_r$. Then

$$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$$ So, $G'(V', E')$ and $w'$ would be a counterexample whose number of vertices is smaller than the number of vertices in $G$. That cannot be true by our assumption about $G(V,E)$ and $w$. So claim two is proved.

---

Now let us prove the theorem.

Since $V_r=V$ and $V_s\neq\emptyset$, there is a path $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$, $m\ge0$ with $m(u)\gt k$, $m(v)\leq k-2$ and $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$. Let us construct a new $w$-distributing function $r(m)$ from $m$ so that

$$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$$

$m$ and $r(m)$ agrees on all vertices except $v$ and $u$, $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ and $r(m)(u)\lt m(u)$. We can apply this procedure on $r(m)$ to get $r^2(m)$. Repeating this $i$ time for some large enough $i$, we will obtain a $w$-distributing function $r^i(m)$ with $F_k(r^i(m))=0$. However, we have assumed that $F_k(m)>0$ is the minimum among $F(d)$ of $w$-distributing function $d$. This contradiction shows that we have proved the Erel-Apass theorem.