Chúng ta có thể làm cho một ngôn ngữ không thường xuyên thường xuyên thông qua việc ghép nối không?

Câu hỏi của tôi về cơ bản được đưa ra ba ngôn ngữ A, B và L, trong đó L là A và B được nối với nhau và B được chứng minh là không thường xuyên, liệu có thể tìm thấy một A làm cho L thường xuyên không?

Nếu chúng ta cho phép là ngôn ngữ trống, là ngôn ngữ thông thường, thì chúng ta có .L = { w 1 w 2 | w 1 ∈ A , w 2 ∈ B } = ∅ = $A$$L = \{w_1w_2 | w_1 \in A, w_2 \in B\} = \emptyset = A$

Đối với vấn đề thú vị hơn một chút trong đó A phải là ngôn ngữ thông thường không trống, sau đó chúng ta có thể xây dựng một sao cho không có không trống nào dẫn đến thông thườngA $B$$A$$L$

Đặt . Đặt là bất kỳ ngôn ngữ thông thường nào và xem xét . Lưu ý rằng, trái với giả định trong J.-E. Câu trả lời của Pin, không đều nhưng không chứa từ trống.A L = { w 1 w 2 | w 1 ∈ A , w 2 ∈ B } $B=\{bc^nd^n | n > 0\}$$A$$L=\{w_1w_2 | w_1 \in A, w_2 \in B\}$$B$

Giả sử là thường xuyên. Có tồn tại một số DFA, , mà chấp nhận . Bất kể được xây dựng như thế nào , chúng tôi biết rằng mỗi từ trong phải có lần xuất hiện cuối cùng của . Đặt là tập hợp các trạng thái di chuyển đến ngay sau cuối cùng trong tất cả các giao dịch có thể chấp nhận. Lưu ý rằng không thể để trống, vì chuỗi ngắn nhất trong là . Đặt là tập hợp các trạng thái được truy cập trong tất cả các giao diện có thể chấp nhận tại một số điểm sau lần cuối cùng . Xây dựngM = ( S , Σ , δ , q 0 , F ) L $L$$M=(S,\Sigma,\delta,q_0,F)$$L$$A$b Q b Q B b c d S ' b M ' = ( S ' , Σ , δ ' , q ' 0 , F ) δ ' δ δ ' ( q 0 , ε ) = $L$$b$$Q$$b$$Q$$B$$bcd$$S'$$b$$M'=(S',\Sigma,\delta',q_0',F)$ , nơi cư xử hệt , ngoại trừ một thực tế rằng .$\delta'$$\delta$$\delta'(q_0, \varepsilon)=Q$

Tôi cho rằng NFA này chấp nhận ngôn ngữ . Đối với bất kỳ , chúng ta phải có một số chuyển đổi từ một số phần tử của sang một số phần tử của , vì phải chấp nhận một số chuỗi với điều này là hậu tố. Đối với mọi , chúng ta có thể chọn một và tạo thành từ . Nếu chấp nhận , thì đó phải là trường hợp chấp nhận , vì phải có một số lần chuyển từ trạng thái nào đó trong sang cũng hợp lệ vớiw ' ∈ C $C=\{c^nd^n| n > 0\}$$w' \in C$$Q$M w ' ∈ Σ * ∖ C w ∈ A w b w ' M ' w ' M w b w ' Q F M w ' w b w ' ∈ L M ' w $F$$M$$w' \in \Sigma^{*} \setminus C$$w \in A$$wbw'$$M'$$w'$$M$$wbw'$$Q$$F$$M$. Tuy nhiên, vì sự lựa chọn của chúng tôi về , không thể xảy ra trường hợp , vì vậy phải từ chối .$w'$$wbw' \in L$$M'$$w'$

Vì vậy, chấp nhận , nhưng ngôn ngữ này không thường xuyên, dẫn đến mâu thuẫn.$M'$$C$

Do đó, nếu không trống, thì không thể đều đặn.$A$$L$

Vâng, điều này là có thể. Hãy xem xét ví dụ được đưa ra dưới đây:

Đặt trong đó là số nguyên tố. Điều này là không thường xuyên. Đặt trong đó . Đây là thường xuyên. p A = 1 n n ∈ $B = 1^p$$p$$A = 1^n$$n \in \mathbb{N}$

1 n n > 2 2 2 + x x > $AB$ đơn giản sẽ cung cấp cho chúng tôi với và điều này là thường xuyên vì bất kỳ số nào lớn hơn có thể được lặp lại là trong đó$1^n$$n > 2$$2$$2+x$$x > 0$

Đặt là một bảng chữ cái không trống. Đặt là bất kỳ ngôn ngữ bất quy tắc nào trên có chứa từ trống và để . Khi đó là thường xuyên.B Σ A = Σ ∗ L = A B = $\Sigma$$B$$\Sigma$$A = \Sigma^*$$L = AB = A$

Cho một ngôn ngữ , ngôn ngữ là thường xuyên. Ngoài giải pháp tầm thường này, không phải lúc nào cũng có thể tìm thấy một ngôn ngữ không trống sao cho là thường xuyên. Có thể đối với nhiều người không thường xuyên (ví dụ nếu chứa từ trống rỗng , hoặc nếu là trên một bảng chữ cái unary ) nhưng không phải cho tất cả .∅ B = ∅ A A B = { u v ∣ u ∈ A ∧ v ∈ B } B B B$B$$\varnothing B = \varnothing$$A$$AB = \{uv \mid u \in A \wedge v \in B\}$$B$$B$$B$$B$

Lấy trong đó là tập hợp các số nguyên tố. Dù là, nếu không có sản phẩm nào sau đó là không thường xuyên, bởi vì để thành viên thử nghiệm trong , nó là cần thiết (do “stopper” biểu tượng ) sử dụng bộ nhớ có khả năng vô biên để kiểm tra tính nguyên của số ' s ở cuốiP A A A B A B c $B = \{ca^n \mid n\in\mathbb{P}\}$$\mathbb{P}$$A$$A$$AB$$AB$$c$$a$

Để chứng minh điều này, hãy để (vì chúng tôi giả sử rằng không trống). Nếu là thường xuyên, thì cũng vậy, và thương số trái của bởi singleton là . Ngôn ngữ này chỉ là (nếu thì tồn tại và sao cho , và vì chứa b ^ kno , nên điều này hàm ý rằngA A B L 1$u \in A$$A$$AB$$L_1 = AB \cap uca^*$$L_1$$\{uc\}$$L_2 = \{w \mid ucw \in AB \wedge ucw \in uca^*\} = \{w \in a^* \mid ucw \in AB\}$w ∈ L 2 v ∈ A k ∈ N u c w = v c một k w c w = một k ∈ L 3 w ∈ L 3 c w ∈ B u c w ∈ A B L $L_3 = \{a^n \mid n\in\mathbb{P}\}$$w \in L_2$$v\in A$$k\in\mathbb{N}$$ucw = vca^k$$w$$c$$w = a^k \in L_3$ ; ngược lại, nếu thì nên ). là một ngôn ngữ không thường xuyên nổi tiếng, chúng tôi có một mâu thuẫn.$w \in L_3$$cw \in B$$ucw \in AB$$L_3$

Trong khi câu hỏi của bạn đang yêu cầu một bằng chứng hiện sinh, nó làm tôi nhớ đến nhánh của comp. khoa học. gọi là xấp xỉ thường xuyên.

Ý tưởng là lấy một ngôn ngữ không thông thường và sau đó tìm một ngôn ngữ thông thường sao cho theo một số điều kiện / tập hợp con của (trong đó là sự khác biệt đối xứng ), tức là tìm một ngôn ngữ thông thường là "tùy ý đóng" với đối với một số tập hợp con mà bạn quan tâm. Thường thì bạn thực hiện điều này bằng cách lấy một tập con hữu hạn của với số đo lớn so với tập hợp con quan tâm của bạn, và sau đó nối nó với một ngôn ngữ thông thường được chọn cẩn thận.Một L ⊖ Một → 0 L ⊖ L $L$$A$$L \ominus A \rightarrow 0$$L$$\ominus$$L$$L$

Bạn có thể tìm thấy rất nhiều bài đọc thú vị trên Google Scholar nếu bạn tìm kiếm một cái gì đó như "không có ngữ cảnh gần đúng ngôn ngữ thông thường".