Tại sao biến thể đếm của một vấn đề quyết định cứng không tự động khó?

Người ta biết rằng 2-SAT nằm trong P. Tuy nhiên, có vẻ khá thú vị khi đếm số lượng giải pháp cho một công thức 2-SAT nhất định, tức là # 2-SAT là # P-hard. Đó là, chúng tôi có một ví dụ về một vấn đề mà quyết định là dễ dàng, nhưng đếm là khó khăn.

Nhưng hãy xem xét một vấn đề NP-đầy đủ tùy ý (giả sử 3-COL). Chúng ta có thể nói ngay điều gì đó về độ cứng của biến thể đếm của nó không?

Thực sự những gì tôi đang hỏi là: tại sao chúng ta cần một bằng chứng khác để chỉ ra một biến thể đếm của một vấn đề quyết định khó khăn cũng là # P-hard? (Đôi khi bạn thấy các mức giảm đáng kể bảo toàn số lượng giải pháp, v.v.). Ý tôi là thực sự, nếu vấn đề đếm được dễ dàng, bạn có thể tự động giải quyết vấn đề quyết định là tốt! Vì vậy, làm thế nào nó có thể không khó? (OK, có thể nó khó, nhưng tôi không chắc định nghĩa của khó là gì).

Lý do không phải là một định lý tự động rằng "quyết định là khó ngụ ý rằng đếm là khó" là hai câu lệnh này sử dụng các định nghĩa khác nhau về "cứng".

• Một vấn đề quyết định là khó nếu NP- hoàn thành theo mức giảm nhiều lần một đa thức (hay còn gọi là giảm Karp, hay còn gọi là giảm ánh xạ thời gian đa thức).

• Một vấn đề đếm là khó khăn nếu nó #P - hoàn thành theo các mức giảm Turing theo thời gian đa thức (hay còn gọi là giảm Cook).

Như vậy, nếu một vấn đề quyết định là NP -complete, chúng ta biết rằng vấn đề đếm tương ứng là NP -hard nhưng đó không phải là định nghĩa về vấn đề đếm khó là gì. Trở thành #P -complete dường như là một tuyên bố mạnh mẽ hơn nhiều so với việc chỉ là NP -hard - Toda đã chỉ ra rằng các vấn đề #P -complete rất khó đối với toàn bộ hệ thống phân cấp đa thức theo các mức giảm ngẫu nhiên, vì vậy, một lớp phức tạp, #P cảm thấy gần gũi hơn nhiều đến PSPACE hơn  NP .

Đi theo hướng ngược lại, nó là rõ ràng sự thật rằng, nếu vấn đề đếm rất dễ dàng theo nghĩa là trong  FP , thì vấn đề quyết định là ở  P . Rốt cuộc, nếu bạn có thể đếm một cách hiệu quả, bạn chắc chắn có thể biết nếu câu trả lời là khác không. Tuy nhiên, chỉ vì phiên bản đếm "không khó" (nghĩa là không phải #P -complete) không ngụ ý rằng nó "dễ" (nghĩa là trong  FP ). Định lý của Ladner mở rộng đến  #P vì vậy, nếu FP$\,\neq\,$** # P ** sau đó có một hệ thống phân cấp vô hạn của các lớp phức tạp riêng biệt giữa chúng để vấn đề đếm "không khó" của chúng tôi có thể được hoàn thành cho bất kỳ một trong các lớp đó và do đó, không phải là "dễ dàng" (trong  FP ).

Có nói rằng, tôi không nghĩ rằng chúng ta có bất kỳ phản biện nào cho phỏng đoán rằng một vấn đề quyết định là NP -complete có nghĩa là phiên bản đếm là #P -complete. Vì vậy, nó không phải là một định lý nhưng nó đúng về mặt thực nghiệm.