Hiệu quả chèn vào danh sách giữ số lượng đảo ngược tối thiểu

Giả sử hai danh sách các mục so sánh: u và s. Đặt INV (u) là số lượng nghịch đảo trong u.

Tôi đang tìm kiếm một thuật toán hiệu quả để chèn các mục của s vào u với mức tăng tối thiểu của INV (u).

Về cơ bản tôi muốn chèn các đối tượng vào một danh sách trong khi giữ nó "càng được sắp xếp càng tốt" trong khi vẫn giữ thứ tự của danh sách đầu tiên.

Thí dụ:

u = [4,6,2,9,7]
INV(u) = 3 ((4, 2), (6, 2) and (9, 7)

s = [8,3,10]

one optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 8, 9, 7, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (8,7))

different optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 9, 7, 8, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (9,8))

Như bạn có thể thấy không có giải pháp tối ưu độc đáo.

Tôi sẽ vui mừng cho bất kỳ loại ý tưởng hoặc hướng để xem xét.

Đây là một chi tiết về câu trả lời của trevore. Quá dài để phù hợp với một nhận xét và chứa các bằng chứng về giải pháp của anh ấy (hoặc ít nhất là cách tôi hiểu nó).

Bạn có thể chỉ ra rằng trong bất kỳ giải pháp tối ưu nào, các phần tử của sẽ xuất hiện theo thứ tự. $s$s 1 < s 2 σ 1 s 1 s 2 s 1 β 1 s 1 σ 2 β 2 s 2 σ 1 ≤ σ 2 β 2 ≤ β 1 s 1 s 2 - β 1 + β 2 - σ 2 + σ 1 - 1Nếu không, giả sử và chúng xuất hiện theo thứ tự ngược lại trong một giải pháp tối ưu. Đặt là số phần tử giữa và nhỏ hơn và là số phần tử lớn hơn . Xác định và tương tự cho . Lưu ý rằng và . Hoán đổi và$s_1 < s_2$$\sigma_1$$s_1$$s_2$$s_1$$\beta_1$$s_1$$\sigma_2$$\beta_2$$s_2$$\sigma_1 \leq \sigma_2$$\beta_2 \leq \beta_1$$s_1$$s_2$sẽ thay đổi số lần đảo ngược theo nhiều nhất là -1.$-\beta_1 + \beta_2 - \sigma_2 + \sigma_1 - 1$

Không khó để thấy rằng các phần tử của có thể được chèn độc lập. $s$ s s s sVì chúng xuất hiện theo thứ tự, các yếu tố của không "cảm thấy" sự hiện diện của nhau. Đó là, các cặp phần tử từ không đóng góp vào số lượng đảo ngược. Để làm điều đó, chèn trung bình của cách tối ưu trong thời gian tuyến tính. Sau đó, đệ quy, chèn các phần tử của nhỏ hơn trung vị bên trái của trung tuyến và các phần tử lớn hơn trung vị bên phải.$s$$s$$s$$s$

Đặt trung vị được chèn vào vị trí , thời gian chạy của thỏa mãn này,, tuyến tínhyếu tố là để tìm trung vị và xáo trộn các yếu tố của . Dễ dàng thể hiện bằng cảm ứng rằng .T ( | s | , | u | ) = T ( | s | / 2 , | u | - k ) + T ( | s | / 2 , k ) + | bạn | + | s | | s | s T ( | s | , | u | ) = $k$$T(|s|, |u|) = T(|s| / 2, |u| - k) + T(|s| / 2, k) + |u| + |s|$$|s|$$s$$T(|s|, |u|) = O(|s| \log |s| + |u| \log |s|)$

Lưu ý rằng sự phụ thuộc vàođây là tối ưu Vì việc giải bài toán với rỗng tương đương với việc sắp xếp chỉ sử dụng phép so sánh. Sự phụ thuộc vàocũng là tối ưu, kể từ khi vấn đề đối với một danh sách singleton và một danh sách phải yêu cầu công việc tuyến tính.$|s|$$u$$s$$|u|$$s$$u$

Ok, đây là giải pháp của tôi:

Một quan sát (mà tôi ít nhiều đã chứng minh) là một giải pháp tối ưu sẽ luôn là một giải pháp trong đó s được sắp xếp tăng dần. Điều này dẫn đến thuật toán O ((| u | + | s |) * log (| s |)).

Để tìm giải pháp tối ưu cho một yếu tố duy nhất, hãy làm như tôi đã nói trong nhận xét của mình: Lấy một yếu tố từ s, so sánh nó với từng yếu tố trong u từ trái sang phải, tăng bộ đếm là đảo ngược và mang số đã tính trước đó. Sau đó duyệt qua danh sách từ phải sang trái với cùng một yếu tố, tăng số lượng cho từng vị trí.

Đây là O (| u |).

Sắp xếp s.

Đối với phần tử giữa của s tại vị trí m: Tìm vị trí b tốt nhất trong u (sử dụng phương pháp từ trên).

Tách s tại m và u tại b và gọi đệ quy với các phần bên trái và bên phải, nối các kết quả với m theo thứ tự bên phải.

Dừng lại ngay khi u hoặc s trống.