Chỉ cần quan tâm, tôi đã cố gắng giải quyết vấn đề từ danh mục "Gần đây" của Project Euler ( chuỗi Digit Sum ). Nhưng tôi không thể nghĩ ra cách giải quyết vấn đề hiệu quả. Vấn đề như sau (trong chuỗi câu hỏi ban đầu có hai câu hỏi bắt đầu, nhưng nó không thay đổi trình tự):

Chuỗi Digit Sum là 1,2,4,8,16,23,28,38,49 .... trong đó số hạng của chuỗi là tổng các chữ số đứng trước nó trong chuỗi. Tìm số hạng của chuỗi. 10 15 t $n^{th}$$10^{15}th$

Giải pháp ngây thơ không thể được thực hiện bởi vì nó tốn rất nhiều thời gian. Tôi đã cố gắng giảm vấn đề thành một trường hợp lũy thừa ma trận (sẽ mất thời gian ) nhưng không thể đưa ra một sự lặp lại như vậy phù hợp với tiêu chí tuyến tính vì sự tái phát cho chuỗi này là khá kỳ dị. Có thể thấy rằng trình tự bị chi phối bởi sự tái diễn:$O(log ( 10^{15}))$

trong đó là hạn của dãy và là một hàm mà khi được cho một số tự nhiên là đầu vào trả về tổng các chữ số của số đó (ví dụ: ). Cách tiếp cận thứ hai của tôi là cố gắng tìm một số mẫu trong chuỗi. Có thể thấy rằng một vài thuật ngữ đầu tiên của chuỗi có thể được viết là$a_n$$n^{th}$$d$$\;d(786)=21$

   a_1 = 1  
   a_2 = 1 + d( 1 )
   a_3 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) )
   a_4 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) )
   a_5 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) + d( 1 +  d(  
   1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) )

Từ mẫu ở trên, có thể tạo ra thuật ngữ của chuỗi theo phương pháp sau:$n^{th}$

1. Viết 'với ký hiệu cộng giữa chúng.$2^{n-1}$ $1$
2. Rời khỏi đầu tiên , sau đó áp dụng hàm cho các điều khoản tiếp theo sau đó cho các điều khoản theo, sau đó vào các điều khoản theo, v.v.$1$$d$$2^{0}$$2^{1}$$2^{2}$
3. Sau đó áp dụng phương pháp trên một cách đệ quy trên các đối số của từng hàm được áp dụng.$d$

ví dụ: nếu n = 3 chúng ta thực hiện các thao tác sau:

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + d( 1 ) + d( 1 + 1 ) + d( 1 + 1 + 1 + 1 )
    1 + d( 1 ) + d( 1 + d(1) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 +d( 1 ) ) )

Bằng lập trình động, tôi có thể tạo ra thuật ngữ bằng cách sử dụng phương thức trên trong thời gian , một lần nữa không tốt hơn giải pháp ngây thơ. O ( l o g ( 2 10 15 ) $n^{th}$$O(log ( 2^{10^{15}} ) )$

EDIT 1
Một điều khác có thể được quan sát là . Ví dụ . Nhưng tôi không thể sử dụng điểm này. Tôi một lần nữa cố gắng tìm một mối quan hệ tái phát tuyến tính (đối với lũy thừa ma trận), nhưng tôi không thể tìm thấy nó.d ( a 6 ) = d ( 23 ) = d ( 32 ) = $d(a_n) = d(2^{n-1})$$d(a_6)=d(23)=d(32)=5$

CHỈNH SỬA 2

Dưới đây là biểu đồ khi chuỗi được vẽ cho phạm vi nhỏ hơn ( điều khoản đầu tiên của chuỗi được vẽ). $10^6$

PS: Tôi biết không nên hỏi các giải pháp từ Project Euler. Nhưng tôi chỉ muốn một hướng đi mới hoặc một gợi ý, vì tôi đã di chuyển trong vòng tròn trong vài ngày qua. Nếu điều đó cũng không được chấp nhận, tôi có thể xóa câu hỏi nếu được đề xuất.

Trình tự của bạn được mô tả trong oeis.org/A004207 dưới dạng tổng các chữ số. Có một số điểm tốt như trình tự mod 9 có mẫu lặp lại , nó chia sẻ các gốc kỹ thuật số với oeis.org/A065075 và oeis.org/A001370 . Nếu các tính chất này hữu ích là bài toán mở (vì không có phương trình dạng đóng cho số ). n - t $(1, 2, 4, 8, 7, 5)^\infty$$n-th$

Có một số thuộc tính của chuỗi này đáng được đề cập:
Khi bạn tính số , bạn chỉ cần lưu trữ bộ đếm (để biết đó là số nào) và chính số đó. Để khởi động lại, không có gì cần thiết hơn, vì số tiếp theo là số hiện tại + tổng các chữ số của nó.$n-th$

Thực hiện một số bước để đảm bảo tốc độ lúc đầu, tốt nhất là đặt số vào mảng, tránh các phép tính mod và div ngây thơ, rất tốn kém. Điều này cho phép tăng tốc liên tục, nhưng nhìn vào những thời điểm nó có vấn đề.

Từ điểm bắt đầu, bạn có thể tính toán tiếp theo và tiếp theo, và nó hoạt động đến một số điểm, chính điểm này là số chữ số thay đổi.
Điều quan trọng hơn, các mô hình đang thay đổi với sự gia tăng số lượng.
Tổng các chữ số là nhỏ so với chính số, vì vậy chỉ một phần của số sẽ thay đổi trên hầu hết các hoạt động.
Vì vậy, những gì thực sự chúng ta có thể bộ nhớ cache?

Chúng ta biết rằng với hai số có cùng một chữ số, phép cộng để có được số tiếp theo sẽ giống nhau. Còn cái tiếp theo thì sao?

Sasha

Spoiler alert, bên dưới là mẫu bộ nhớ cache khá rõ ràng

Nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung, như các số không thay đổi trong quá trình chạy , tôi sẽ gọi nó là thay đổi , số tiền bắt đầu là bắt đầu .

$100$$0$$9$$100$$n-th$

$100$
$100$$1$

$1$$0$

$1, 2, 4, 8$

$1$$101$$218$$305$$406$$517$$607$$719$$805$$904$$1003$

Chúng tôi có thể tiếp tục cho đến khi thay đổi cao hơn so với tính toán.
Đi xa hơn, chúng ta có thể xây dựng nhiều lần chạy hơn , tính toán trước các lần chạy lớn hơn hoặc quan sát các mẫu khác (như chúng ta có thể sử dụng một phần các bảng tái sử dụng đã được tính toán).
Hãy nhìn vào khác nhau thay đổi như tất cả họ đều đưa ra cùng chạy là môi trường tương tự cho tiền con số, do đó chúng ta có thể sử dụng các bảng rất tương tự. Làm cho các bảng lớn hơn phần tử tăng tốc quá trình hơn nữa, thực hiện các bước nhảy lớn hơn cùng một lúc.$100, 1000, 10000, 100000, 1000000...$
$100$

Vì bạn đã hỏi "một hướng đi mới hoặc một gợi ý" và tôi không biết câu trả lời, tôi sẽ để nó ở đây, tôi hy vọng nó hữu ích. một vài ý tưởng:

Nó có ý nghĩa sẽ có một mô hình mod 9, kể từ khi

$\forall k > 1,k \in \mathbb{Z}\quad10^k \equiv 1 \mod 9$

Mà bạn có thể chứng minh bằng cảm ứng.

Điều này có nghĩa là tất cả các số đều đồng dạng với tổng các chữ số mod 9 của chúng.

Hơn nữa, $a_n = d(a_n) \mod 9 \implies$

Nếu chúng ta tiếp tục mở rộng sự tái phát này, chúng ta sẽ nhận được

$a_{n} = 2^n \mod 9$

Điều này giải thích mô hình mod 9.

Nó cũng được chúng tôi . Mỗi lần lặp chúng ta có một khoảng cách chia hết cho 9. Những khoảng trống đó rộng bao nhiêu?$a_n = 9k + 2^n$

Đây là một số ít hơn mã chung:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#sum digits of n
def sum_digits(n):
    s = 0
    while n:
        s += n % 10
        n //= 10
    return s

#get the sequence to n digits
def calculate(n):
    retval = [1]
    for i in range(n):
        retval.append(retval[-1] + sum_digits(retval[-1]))
    return retval;

#empirically confirm that a_n = 2^n mod 9
def confirmPow2(a):
    count = 0
    for i in a[:10000]:
        if((i%9) != (2**count % 9)):
            print "false"
        count = count + 1

#find gaps divisible by 9 in a subset of a
def find9Gaps(a):
    count = 0
    S = []
    for i in a[:10000]:
         S.append(((2**count ) - i)/9)
         count = count + 1
    return S

#repeatedly sum the digits until they're less than 9...
#gives some interesting patterns
def repeatedDigitSum():
    for i in range(1000, 1100):
         print "=========for ",i
         while i > 9:
                 i = sum_digits(i)
                 print i 


a = calculate(10**6)
b = find9Gaps(a)
plt.plot(range(len(b[:100])), b[:100])
plt.show()

Cốt truyện (cho 100 người đầu tiên) có vẻ theo cấp số nhân, nhưng tôi không nghĩ nó hoàn hảo.

Đây là đầu ra của

>>> plt.plot(range(len(b[5:60])), np.log2(np.array(b[5:60])))
>>> plt.show()

Điều cuối cùng tôi có là dường như nếu bạn tính tổng các chữ số của một số, sau đó tổng các chữ số của số kết quả và lặp lại điều này, cuối cùng bạn sẽ có được số đó mod 9.

Làm cho ý nghĩa đưa ra thực tế trên về sức mạnh của 10 mod 9.

Nó đưa ra một chuỗi số thú vị mặc dù.

Chỉnh sửa: Rõ ràng đây được gọi là "gốc kỹ thuật số".