Mối quan hệ giữa Logic bậc nhất và Lý thuyết bậc nhất là gì?

Tôi nghĩ rằng bất kỳ FOT nào cũng là tập con của FOL, nhưng dường như không phải vậy, vì FOL đã hoàn thành (mọi công thức đều hợp lệ hoặc không hợp lệ), trong khi một số FOT (như số học số nguyên tuyến tính) chưa hoàn tất.

Vậy, FOL có biểu cảm hơn bất kỳ FOT nào không? Hay không gì sánh được?

Ngoài ra, tuyên bố "có những tuyên bố hợp lệ trong LIA nhưng không thể được chứng minh bằng các tiên đề của LIA" là lạ. Làm thế nào để tuyên bố có thể hợp lệ nếu chúng tôi không thể chứng minh tính hợp lệ của nó? Tôi luôn nghĩ rằng nếu bạn không thể chứng minh tính hợp lệ của tuyên bố thì bạn không thể khẳng định nó là hợp lệ.

First-order logic là một chủ đề toán học trong đó xác định nhiều khái niệm khác nhau, chẳng hạn như công thức bậc nhất , cấu trúc bậc nhất , lý thuyết bậc nhất , và nhiều hơn nữa. Một trong những khái niệm này là lý thuyết bậc nhất : đó là một tập hợp các công thức bậc nhất. Thông thường chúng ta xem xét lý thuyết bậc nhất được tạo ra bởi một số hữu hạn các tiên đề và sơ đồ tiên đề. Một lý thuyết như vậy được đóng lại liên quan đến các dẫn xuất logic và chúng ta thường chỉ xem xét các lý thuyết thỏa mãn điều kiện này.

Một lý thuyết bậc nhất hoàn thành nếu với mỗi câu lệnh , nó chứa hoặc phủ định của nó. Không phải mọi lý thuyết đều hoàn chỉnh. Thật vậy, định lý bất toàn của Gôdel làm nổi bật thực tế là nhiều lý thuyết bậc nhất thú vị nhất thiết không hoàn chỉnh.$\sigma$$\sigma$

Một mô hình của lý thuyết bậc nhất là một cách giải thích hợp lệ của lý thuyết (chúng tôi để lại định nghĩa chính xác cho sách giáo khoa). Ví dụ, lý thuyết bậc nhất của các nhóm bao gồm tất cả các câu lệnh xuất phát từ các tiên đề của nhóm. Mỗi nhóm là một mô hình của lý thuyết thứ nhất của các nhóm.

Đối với mỗi mô hình nhất định, câu đã cho là đúng hoặc sai. Định lý tính hoàn chỉnh của Gôdel nói rằng nếu một câu thứ nhất là đúng trong tất cả các mô hình của lý thuyết bậc nhất, thì có thể chứng minh được từ số lượng câu hữu hạn trong lý thuyết. Ví dụ: mọi câu lệnh đầu tiên trong ngôn ngữ của các nhóm giữ cho tất cả các nhóm đều có thể chứng minh được từ các tiên đề của nhóm.

LIA (có lẽ là) một lý thuyết bậc nhất, đủ thú vị để không hoàn chỉnh do định lý không hoàn chỉnh của Gôdel. Tuy nhiên, trong mô hình chuẩn - số nguyên "đúng" - mỗi câu là đúng hoặc sai. Cụ thể, nếu là một tuyên bố không phải hay thuộc về LIA, thì hoặc giữ cho các số nguyên thực, nhưng thực tế này không thể chứng minh được trong LIA.σ ¬ σ σ ¬ $\sigma$$\sigma$$\lnot \sigma$$\sigma$$\lnot \sigma$

Cụm từ "logic thứ nhất" có hai nghĩa:

1. Đó là một chương của logic toán học, trong đó chúng tôi nghiên cứu một số loại hệ thống chính thức và mọi thứ liên quan đến chúng.

2. Nó là một loại lý thuyết bậc nhất đặc biệt, cụ thể là lý thuyết được tạo ra bởi một chữ ký trống và một bộ tiên đề trống.

Câu hỏi của bạn đề cập đến ý nghĩa thứ hai, nhưng để hiểu điều này, chúng ta cần xây dựng mọi thứ:

1. Có một ngôn ngữ chính thức nhất định được gọi là ngôn ngữ của logic thứ nhất . Phát biểu không chính thức, đó là những thứ bạn có thể xây dựng từ các biến, bình đẳng, , ∨ , ¬ , ⇒ , ∀ và ∃ . Công cụ này được gọi là công thức đặt hàng đầu tiên .$\land$$\lor$$\lnot$$\Rightarrow$$\forall$$\exists$

2. Có một hệ thống chính thức nhất định được gọi là logic thứ nhất cho chúng ta biết ý nghĩa của việc chúng ta chứng minh một công thức bậc nhất. Hệ thống được đưa ra như một tập hợp các quy tắc suy luận.

3. Một lý thuyết bậc nhất $\mathcal{T}$ được đưa ra bởi:

   • một chữ ký $\Sigma_{\mathcal{T}}$ trong đó bao gồm từ một tập các hằng số, biểu tượng chức năng, và các biểu tượng liên quan. Hãy nghĩ về những điều này như phần mở rộng của ngôn ngữ cơ bản của logic thứ nhất. Chúng tôi gọi nó là ngôn ngữ của $\mathcal{T}$ .
   • một tập hợp khép kín của các công thức bậc nhất được viết bằng ngôn ngữ được mở rộng bằng chữ ký.

Một tập hợp các công thức được cho là đóng suy luận nếu có áp dụng quy tắc suy luận logic bậc nhất để công thức trong S cho công thức mà là một lần nữa trong S . Nói cách khác, S chứa tất cả các hậu quả logic của nó. Một cách phổ biến để tạo ra một tập hợp S như vậy là: bắt đầu với một số công thức A đã chọn và thêm vào đó tất cả các hậu quả logic của nó, và hậu quả của những hậu quả đó, v.v. Đây được gọi là đóng cửa suy của Một . Chúng ta thường gọi các công thức trong A tiên đề .$S$$S$$S$$S$$S$$A$$A$$A$

Một lý thuyết có thể hoặc không thể hoàn thành. Ở đây không quan trọng để biết "hoàn thành" nghĩa là gì, nhưng điều quan trọng là phải biết rằng những điều sau đây có thể xảy ra: chúng ta có thể có hai bộ công thức và B , sao cho A ⊆ B , đóng cửa suy diễn của A là hoàn chỉnh về lý thuyết, và việc đóng cửa suy diễn của B là không một lý thuyết hoàn chỉnh.$A$$B$$A \subseteq B$$A$$B$

Bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng để trả lời câu hỏi của bạn. Đặt là lý thuyết có chữ ký trống và tập hợp công thức của nó là kết thúc suy diễn của tập rỗng. Đặt P là lý thuyết có chữ ký của số học Peano (hằng số 0 , phép toán đơn phương S , phép toán nhị phân + và × ) và các công thức là phép đóng của các tiên đề Peano. Sự thật là$T$$P$$0$$S$$+$$\times$

1. được chứa trong P (thực tế T được chứa trong mọi lý thuyết),$T$$P$$T$
2. đã hoàn thành$T$
3. chưa hoàn thành.$P$

$T$

Tóm lại, câu hỏi của bạn tiết lộ như sau:

1. Bạn không biết rằng "logic thứ nhất" có thể đề cập đến lý thuyết với chữ ký trống được tạo bởi các tiên đề trống.
2. Một lý thuyết hoàn chỉnh có thể trở nên không hoàn chỉnh khi chúng ta mở rộng nó.
3. Bạn đã sử dụng định nghĩa sai về tính đầy đủ. Định nghĩa đúng là: một lý thuyết hoàn chỉnh nếu, mỗi câu hoặc phủ định của nó là một định lý của lý thuyết.

NB: một câu là một công thức khép kín (một công thức không chứa bất kỳ biến miễn phí nào).

Cuối cùng, hãy để tôi giải quyết câu hỏi của bạn về tính hợp lệ:

• một công thức là có thể chứng minh nếu có bằng chứng về nó
• một công thức là hợp lệ nếu nó đúng trong mọi mô hình

Một định lý meta cơ bản về logic thứ nhất là mọi công thức có thể chứng minh được đều hợp lệ. Điều ngược lại cũng như vậy và được gọi là định lý hoàn chỉnh của Gôdel .

Tuy nhiên, điều thường xảy ra là trong một số tình huống cụ thể, người ta cố tình tạo ra sự không phù hợp giữa tính hợp lệ và khả năng chứng minh vì một lý do chính đáng. Ví dụ, nếu chúng ta giới hạn sự chú ý vào chỉ các mô hình hữu hạn , thì có thể dễ dàng xảy ra rằng sẽ có các tuyên bố hợp lệ không có bằng chứng. Tại sao một người sẽ làm điều đó? Trong khoa học máy tính, nó có thể là vì lý do thuật toán, hoặc vì người ta chỉ quan tâm đến một lớp mô hình cụ thể.

HYou nói "cách duy nhất để biết rằng một câu có giá trị là chứng minh điều đó". Đây có thể là trường hợp ở một mức độ không chính thức (tôi nghĩ rằng Chúa sẽ không đồng ý với bạn), nhưng lưu ý rằng bất kỳ bằng chứng xác thực nào như vậy xảy ra bên ngoài lý thuyết, ở cấp độ meta. Thật vậy, vì việc thiết lập tính hợp lệ đòi hỏi người ta phải nói về tất cả các mô hình, đây chắc chắn không phải là điều chúng ta mong đợi để thực hiện bên trong lý thuyết.

Một sự làm rõ nhỏ:

Bạn có thể nghĩ rằng lý thuyết với chữ ký trống là một lý thuyết trống, tức là không chứa các công thức đóng. Điều đó là không chính xác. Logic bậc một cho phép người ta chứng minh - không thu hút các tiên đề - một số công thức đóng nhất định được gọi là tautology. Đây là "sự thật" chỉ do hình thức của chúng; họ không có nội dung có ý nghĩa như vậy. Định lý về tính hoàn chỉnh của Godel sau đó nói rằng bộ sưu tập các tautology đã hoàn tất - tức là tất cả các công thức đóng có giá trị (nghĩa là 'đúng trong tất cả các mô hình') thực sự có thể dẫn xuất trong logic thứ nhất. [Bằng chứng là thú vị và quyết định không tầm thường.]