Có thể có bất kỳ vấn đề hữu hạn nào trong NP-Complete không?

Giảng viên của tôi đã tuyên bố

Bất kỳ vấn đề hữu hạn nào cũng không thể là NP-Complete

Lúc đó anh ta đang nói về Sudoku khi nói điều gì đó dọc theo câu hỏi đối với Sudoku 8x8 có một bộ giải pháp hữu hạn nhưng tôi không thể nhớ chính xác những gì anh ta nói. Tôi đã viết ra ghi chú mà tôi đã trích dẫn nhưng vẫn không thực sự hiểu.

Sudoku là NP hoàn thành nếu tôi không nhầm. Vấn đề clique cũng là NP-Complete và nếu tôi gặp vấn đề 4-Clique thì đây có phải là vấn đề hữu hạn không phải là NP-Complete?

np-complete np

— TheRapture87
nguồn

"Vấn đề hữu hạn" là gì? Google và Wikipedia không giúp được gì.

— Anton Trunov

@AntonTrunov Một vấn đề trong đó đầu vào có độ dài giới hạn.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, điều đó có đúng với tất cả các cặp đầu vào Turing machine * hợp lệ không? IIRC một trong những biểu tượng được chỉ định là biểu tượng trống và đầu vào ban đầu có một vùng giới hạn bên ngoài mà các biểu tượng khác với biểu tượng trống không thể xuất hiện. Thuật ngữ "NP hoàn thành" thường không được sử dụng trong bối cảnh hoạt động trên các luồng không thể được mô hình hóa mà không làm giảm giả định đó.

— Mike Samuel

@MikeSamuel Khi tôi nói độ dài giới hạn, ý tôi là đầu vào có kích thước tối đa 100. (Hoặc bất kỳ số nào ngoài 100.)

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, ok. Tôi đang nói, thuật ngữ "NP hoàn thành" chỉ được sử dụng khi không có ký hiệu không trống trên đầu vào hoặc tồn tại một số nguyên là số ký hiệu giữa ký hiệu không trống ngoài cùng bên trái và ký hiệu không trống ngoài cùng bên phải . 100 sẽ là một ví dụ như vậy.

— Mike Samuel

Câu trả lời:

Nếu một bài toán hữu hạn là NP hoàn thành thì P = NP, vì mọi bài toán hữu hạn đều có thuật toán thời gian đa thức (thậm chí là thuật toán thời gian không đổi).

Khi chúng tôi nói rằng Sudoku hoàn thành NP, chúng tôi có nghĩa là một phiên bản Sudoku tổng quát được chơi trên bảng là NP-hoàn chỉnh. $n^2 \times n^2$

Cuối cùng, bài toán 4 cụm, trong khi không phải là bài toán hữu hạn (đồ thị đầu vào có kích thước không giới hạn), là một bài toán dễ có thuật toán thời gian đa thức.

— Yuval Filmus
nguồn

Vì vậy, vấn đề 4 cụm P vì nó có thuật toán thời gian đa thức?

— TheRapture87

@ Aceboy1993 Phải, đó là định nghĩa của P.

— Yuval Filmus

Nhưng tại sao K-clique được coi là trong NP-Complete? K không chỉ đại diện cho một số như 4?

— TheRapture87

@ Aceboy1993 Không,

là một phần của đầu vào. Đối với hằng số

, vấn đề là ở P.

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus

Ngoài ra, chúng tôi có thể chứng minh rằng Clique hoàn thành NP.

— Yuval Filmus

Tuyên bố của giáo viên của bạn là không chính xác hoặc có thể bạn đã không nghe thấy anh ta chính xác. Phát biểu đúng là

Bất kỳ ngôn ngữ hữu hạn với không thể là NP-đầy đủ trừ khi . $L$ $|L| \geq 1$ $P = NP$

$P \neq NP$ $|L|>1$ $\emptyset$ $P=NP$ $P \neq NP$

Sudoku hoặc cờ vua không hoàn thành NP (như Yuval đã chỉ ra), bởi vì đầu vào của chúng là kích thước hữu hạn bảng 9x9 hoặc 8x8 (tôi đang nói về các phiên bản quyết định, liệu sudoku có giải pháp hay cờ vua có chiến lược chiến thắng hay không). Trong cờ vua, tôi giả sử nếu bạn lặp lại một vị trí, nó được coi là một trận hòa.

— Shreesh
nguồn

Nhắc lại: Một vấn đề X là NP-đầy đủ nếu nó đáp ứng hai tiêu chí:

a) Đó là trong NP - Tức là mọi giải pháp đoán của X có thể được xác minh trong thời gian đa thức.

b) Nó đã hoàn tất cho NP - Tức là mọi vấn đề Y trong NP đều có thời gian đa thức giảm thời gian dịch một thể hiện của Y thành một thể hiện của X (do đó, bất kỳ chương trình đa thức nào giải quyết X cũng sẽ giải quyết Y trong thời gian đa thức ).

Chúng ta có thể đồng ý rằng Sudoku 9x9 thỏa mãn (a). Đó là (b) nơi mọi thứ rơi xuống. Nói chung hơn - Các sự cố (trong NP hoặc cách khác) thường có các trường hợp có kích thước N cho các giá trị N lớn tùy ý ; chắc chắn điều này đúng với các vấn đề đã biết trong NP. Việc giảm từ một vấn đề như vậy sang một vấn đề có kích thước vấn đề tối đa có thể có thể không phải là một sự giảm thiểu cá thể hợp lệ, bởi vì cái trước luôn có (vô hạn) nhiều trường hợp hơn cái sau. Đó là lý do Sudoku phải được khái quát hóa cho ma trận NxN trước khi người ta có thể xem xét tính đầy đủ của NP.

— Thủ tướng
nguồn

Điều này LAF không đúng. Hoàn toàn có thể có một sự giảm thiểu hợp lệ từ một vấn đề với vô số trường hợp thành một vấn đề với nhiều trường hợp hữu hạn. Ví dụ, đây là sự giảm từ SAT sang vấn đề xác định xem chuỗi có độ dài 1 có bằng "a" hay không, nếu trường hợp SAT có thể thỏa mãn, hãy ánh xạ chuỗi đó sang chuỗi "a"; mặt khác, ánh xạ nó tới chuỗi "b". Bây giờ, mức giảm đó (có thể) không thể tính được trong thời gian đa thức nhưng đó là mức giảm hoàn toàn hợp lệ.

— David Richerby