Những hàm nào có thể kết hợp tính toán biểu thức tính toán?

Một biểu thức tổ hợp (giả sử trong cơ sở SK) có thể được coi là một hàm ánh xạ các biểu thức tính toán của tổ hợp thành các biểu thức tính toán của tổ hợp. Nghĩa là, người ta có thể nghĩ về một biểu thức là một hàm , trong đó là tập hợp của tất cả các biểu thức kết hợp hợp lệ về mặt cú pháp trong cơ sở SK. Ánh xạ này được thực hiện bằng cách áp dụng đầu vào cho biểu thức, sau đó giảm xuống dạng bình thường để lấy đầu ra. $X$ $X:L \to L$ $L$

Kể từ khi cơ sở SK là Turing hoàn tất, người ta có thể ngây thơ nghĩ rằng có tồn tại một một SK biểu hiện triển khai bất kỳ chức năng tính toán từ đến . Tuy nhiên, điều này rõ ràng không phải là trường hợp, vì kết quả giảm sẽ luôn ở dạng bình thường. Điều này có nghĩa là không có cách nào để một biểu thức có đầu ra không ở dạng bình thường. $X$ $L$ $L$

Vì vậy, thay vào đó, tôi có thể nghĩ các biểu thức tính toán SK là ánh xạ đến , trong đó là tập hợp các biểu thức SK ở dạng bình thường. Có phải là trường hợp đối với bất kỳ bản đồ tính toán nào , có một biểu thức SK thực hiện bản đồ này không? Hoặc có những hạn chế hơn nữa đối với tập hợp các hàm có thể được tính bằng các biểu thức tính toán tổ hợp theo cách này? $L'$ $L'$ $L'$ $f:L'\to L'$ $X$

lambda-calculus combinatory-logic

— Nathaniel
nguồn

Để làm cho quả bóng lăn, và với hy vọng người khác đưa ra câu trả lời sâu sắc và chi tiết hơn về cấu trúc của các hàm xác định được , hãy để tôi trích dẫn Hệ quả 20.3.3 từ The Lambda Tính toán của Barendregts Cú pháp và ngữ nghĩa (còn gọi là "kinh thánh"). $\lambda$ $L'\to L'$

Hệ quả 20.3.3: Hàm , được xác định bởi không thể xác định được trong -calculus chưa được xác định , tức là không có thuật ngữ sao cho cho tất cả . $\delta:L'^2\to L'$
$δ (M, N) = {\begin{cases} T r u e if M =_{β η} N \\ F a l s e otherwise \end{cases}$ $\delta(M, N) = \cases{\mathrm{True}\mbox{ if }M=_{\beta\eta}N\\ \mathrm{False}\mbox{ otherwise}}$ $\lambda$ $D$ $D M N =_{β η} δ (M, N)$ $D\ M\ N =_{\beta\eta} \delta(M,N)$ $M,N\in L'$

Bằng chứng liên quan đến việc cân nhắc trên cây Böhm, đưa ra một đặc điểm khá mạnh mẽ về "hành động" có thể của các thuật ngữ lambda tùy ý trên các hình thức bình thường. Đặc biệt, đối với bất kỳ thuật ngữ không đóng không đổi , trên có thể tìm thấy và sao cho $F$ $n\in\mathbb{N}$ $P_1,\ldots,P_n$

F x P_{1} \dots P_{n} =_{β η} x Q_{1} \dots Q_{k}

$F\ x\ P_1\ldots P_n =_{\beta\eta} x\ Q_1\ldots Q_k$

Đối với một số , . Điều này hạn chế mạnh mẽ các hình thức có thể có của một giả thuyết thực hiện , cho thấy với một công việc nhỏ mà không thể tồn tại. $k$ $Q_1,\ldots,Q_k$ $D$ $\delta$ $D$

— cody
nguồn