Bộ cơ sở cho tính toán tổ hợp

Người ta biết rằng các tổ hợp S và K tạo thành một cơ sở được thiết lập cho phép tính tổ hợp, theo nghĩa là tất cả các tổ hợp khác có thể được biểu thị theo nghĩa của chúng. Ngoài ra còn có cơ sở B, C, K, W của Curry, có cùng tài sản. Phải có vô số căn cứ như vậy, nhưng tôi không biết bất kỳ căn cứ nào khác.

Tôi biết rằng có một số cơ sở tổ hợp đơn, chẳng hạn như tổ hợp Iota và các cơ sở khác được xây dựng / xem xét bởi Fokker . Tuy nhiên, đây là các tổ hợp "không phù hợp", có nghĩa là chúng được thể hiện dưới dạng các tổ hợp khác thay vì trừu tượng thuần túy. ¹ Vì mục đích của câu hỏi này, tôi chỉ quan tâm đến các bộ cơ sở bao gồm các tổ hợp thích hợp.

Có tồn tại một nghiên cứu về các bộ cơ sở có thể khác? Lý tưởng sẽ là một cái gì đó dọc theo dòng nghiên cứu của Wolfram về các mô hình tính toán khác nhau, trong đó các kết hợp khác nhau được nghiên cứu một cách có hệ thống. Cụ thể, tôi quan tâm đến việc liệu các ví dụ đơn giản về những điều sau đây có được biết hay không:

• Một bộ cơ sở tối thiểu bao gồm bộ kết hợp I. (Tôi đang sử dụng "tối thiểu" có nghĩa là nếu bạn xóa bất kỳ thành viên nào thì nó sẽ không còn là cơ sở, vì vậy cơ sở SKI sẽ không được tính.)
• Một tập hợp cơ sở tối thiểu bao gồm các combinator Y, hoặc combinator (aka chim nhại)$\omega$

Bất kỳ thông tin nào khác về các cơ sở có thể khác cho logic kết hợp ngoài S, K và B, C, K, W sẽ thực sự hữu ích.

Như một điểm rộng hơn, tôi quan tâm đến việc nghiên cứu tính toán kết hợp như một hệ thống cơ học thuần túy , tức là một tập hợp các quy tắc biến đổi trên cây nhị phân với các nút được gắn nhãn, không cần đưa ra bất kỳ giải thích ngữ nghĩa cụ thể nào. Bất kỳ con trỏ nào hướng tới các nguồn lực áp dụng phương pháp này sẽ được đánh giá rất cao. ( Để Mock a Mockingbird mất phương pháp này nhưng đưa ra một bài thuyết trình không đầy đủ, trong khi Barendregt của Lambda Calculus là rất nhiều gắn liền với ngữ nghĩa, làm cho nó khó khăn cho tôi để trích xuất các khía cạnh thuần túy cơ khí mà tôi đang quan tâm.)

¹ _{Để được chính xác: trong phép tính lambda một combinator đúng là một biểu hiện của hình thức , nơi P ( x 1 , x 2 , ... ) chỉ có x 1 , x 2, v.v. là các biến miễn phí và không chứa bất kỳ khái niệm trừu tượng nào. Vì vậy, ví dụ, ( λ x y z . X ( $(\lambda.x_1x_2\dots P(x_1,x_2,\dots))$$P(x_1,x_2,\dots)$$x_1$$x_2$ là một combinator thích hợp, nhưng ( λ x . x ( λ y . y ) ) không phải là, bởi vì nó có chứa x áp dụng cho một thuật ngữ lambda.$(\lambda x y z. x(z z))$$(\lambda x. x(\lambda y.y) )$$x$}

$C$$T = (\lambda x y. y x)$$W$$\omega = (\lambda x. x x)$$C$$W$$C = B(T(B B T))(B B T)$$W = C(B \omega(B B T))$

Bất kỳ bộ tổ hợp nào có chứa tổ hợp hủy (như K), tổ hợp tổng hợp (như B), tổ hợp hoán vị (như C), tổ hợp trùng lặp (như W) và tổ hợp nhận dạng I là cơ sở. Nếu tổ hợp I tình cờ xuất phát từ bốn tổ hợp khác của bạn, thì bốn tổ hợp đó là đủ.

Điều này có nghĩa là một cái gì đó như B, T, M, K, I, trong đó Tab = ba và Ma = aa, cũng là một cơ sở. Thật vậy, B, T, M, K đủ, vì tôi có thể xuất phát từ B, T, M, K (điều này không dễ chứng minh; bằng chứng là trước tiên lấy S từ B, T, M và sau đó lấy I = KỸ NĂNG.)