Bằng chứng một câu của P ⊆ NP

Gần đây tôi đang đọc một tài liệu [1]. Trong tài liệu này, Giáo sư Cook cung cấp một bằng chứng ngắn gọn về$\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$, đó chỉ là một câu:

Thật là tầm thường khi cho thấy rằng $\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$, vì đối với mỗi ngôn ngữ $L$ kết thúc $\Sigma$, nếu $L \in \mathbf{P}$ sau đó chúng ta có thể xác định mối quan hệ kiểm tra thời gian đa thức $R \subseteq \Sigma^* \cup \Sigma^*$ bởi

$$R(w, y) \Longleftrightarrow w \in L$$ cho tất cả $w, y \in \Sigma^*$.

Tôi biết định nghĩa của $\mathbf{P}$ và $\mathbf{NP}$, như trong [1], nhưng tôi vẫn không thể hiểu bằng chứng này. Có ai có thể giải thích bằng chứng cho tôi? Thậm chí một câu là tốt.

Nhân tiện, tôi nghĩ $\Sigma^* \cup \Sigma^*$ nên là $\Sigma^* \times \Sigma^*$. Tôi có đúng không

Tài liệu tham khảo

[1] S. Cook, Vấn đề P so với NP , [Trực tuyến] http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf .

Vì L ở trong P, bạn có thể trả lời bài toán đố trong thời gian đa thức. Để chỉ ra rằng L cũng nằm trong NP, chúng ta cần cung cấp mối quan hệ kiểm tra đa thức$R$ như vậy mà

Bây giờ giáo sư Cook nói rất đơn giản $R$. Cho mọi$w$ trong $L$không có vấn đề gì $y\in \Sigma^*$ bạn lấy, $R(w,y)$ là đúng và cho mọi $w$ không trong $L$, $R(w,y)$ là sai, bất kể $y$. Đây là một mối quan hệ thời gian đa thức, vì chúng ta có thể quyết định xem$w\in L$ hoặc không trong thời gian đa thức (kể từ $L \in P$), mà không cần nhìn vào $y$ở tất cả. Và như bất kỳ$y$ công trình, cũng có một số $y$ đủ ngắn để đáp ứng giới hạn độ dài trong định nghĩa trên.

$P=\{L : L\ \text{is decided by a }\mathbf{deterministic}\text{ Turing machine in polynomial time}\}$

$NP=\{L : L\text{ is decided by a (possibly non-deterministic) Turing machine in polynomial time}\}$

Với những định nghĩa này, $P\subseteq NP$ là khá rõ ràng.

Hãy gọi $\widetilde{NP}=\{L : \text{There is some } R \text{ so that } L_R\in P\}$ Ở đâu $R\subseteq \Sigma^*\times \Sigma'^*$ và $L_R=\{u\#v : (u,v)\in R\}$. Ý tưởng ở đây là$u$ là đầu vào "thực" và $v$ là một số thông tin bổ sung để giúp chúng tôi biết lý do tại sao chúng ta nên chấp nhận $u$. Ví dụ: nếu vấn đề là$SAT$, $u$ là công thức và $v$ có thể là một định giá.

• $\widetilde{NP}\subseteq NP$ : Phỏng đoán $v$ và sau đó xác minh $u\#v$ nó

• $NP\subseteq\widetilde{NP}$ : Được $u$, $v$ sẽ là các chuyển đổi danh sách được thực hiện trong một chấp nhận thực thi $u$. Để xác minh$u\#v$, bạn chỉ cần mô phỏng việc thực hiện của máy không xác định trên $u$ Trong khi sử dụng $v$ để loại bỏ tính không xác định.

Bằng chứng bạn đang đề cập chỉ là nói rằng $P\subseteq \widetilde{NP}$ và bạn thậm chí không cần $v$ bởi vì không có chủ nghĩa không xác định để loại bỏ.

Và vâng, nó nên $\Sigma^* \times \Sigma^*$.