Vấn đề hoàn thành cho lớp TẤT CẢ các ngôn ngữ

$\text{ALL}$ nghĩa đen là lớp của TẤT CẢ các ngôn ngữ.

Có cố đầy đủ không? Đó là, có vấn đề nào mà một giải pháp sẽ cho phép một người giải quyết bất kỳ vấn đề nào không? Những vấn đề như vậy có thể được coi là "những vấn đề khó nhất, không có gì". $\text{ALL}$

Một vấn đề như vậy dường như là: đưa ra một vấn đề và kích thước đầu vào, đầu ra là bảng sự thật.

undecidability

— Demi
nguồn

có một ý nghĩa trong đó đây chính xác là khái niệm đằng sau tính hoàn chỉnh của Turing / ngôn ngữ hoàn chỉnh TM ...

— vzn

Bạn chưa chỉ định khái niệm giảm của mình, vì vậy tôi sẽ giả sử rằng bạn chọn một số loại hàm có thể đếm được có thể được sử dụng để giảm (mọi tập hợp con của các hàm tính toán sẽ hoạt động ở đây). Đặt là bất kỳ lớp ngôn ngữ nào trong một số bảng chữ cái cố định , giả sử . Một ngôn ngữ là khó khăn cho (liên quan đến ) nếu với mọi có tồn tại mà iff . Nếu cũng thì ta nói rằng $\cal F$ $\cal L$ $\Sigma$ $\Sigma = \{0,1\}$ $K$ $\cal L$ $\cal F$ $L \in \cal L$ $f \in \cal F$ $x \in L$ $f(x) \in K$ $K \in \cal L$ $K$ là hoàn toàn cho . $\cal L$

Bây giờ tôi sẽ chỉ ra rằng không có ngôn ngữ nào khó đối với . Giả sử là -hard. Đặt là một phép liệt kê các hàm trong (một phép liệt kê như vậy tồn tại vì cả và đều có thể đếm được). Xác định ngôn ngữ theo Kể từ khi , có tồn tại một hàm sao cho với mọi , iff . Vì , tồn tại $\mathsf{ALL}$ $K$ $\mathsf{ALL}$ $f_x : x \in \Sigma^*$ $\cal F$ $\Sigma^*$ $\cal F$ $L$

L = {x : f_{x} (x) \notin K} .

$L = \{x : f_x(x) \notin K \}.$

L \in A L L

$L \in \mathsf{ALL}$

f \in F

$f \in \cal F$

x \in Σ^{*}

$x \in \Sigma^*$

x \in L

$x \in L$

f (x) \in K

$f(x) \in K$

f \in F

$f \in \cal F$

x \in Σ^{*}

$x \in \Sigma^*$ sao cho . Đối với điều này đặc biệt , iff . Tuy nhiên, theo định nghĩa iff .

f = f_{x}

$f = f_x$

x

$x$

x \in L

$x \in L$

f_{x} (x) \in K

$f_x(x) \in K$

x \in L

$x \in L$

f_{x} (x) \notin K

$f_x(x) \notin K$

— Yuval Filmus
nguồn

Đối số cardinality thú vị. Điều gì về vấn đề tôi đã đưa ra trong câu hỏi (đưa ra một mô tả chức năng, trả lại bảng sự thật của nó)? Có vẻ như vấn đề này (tất nhiên là rất không thể giải quyết được) sẽ cho phép mọi vấn đề được giải quyết (lấy bảng sự thật từ nhà tiên tri, sau đó tìm kiếm vấn đề). Bạn có thể giải thích nơi tranh luận của tôi sai, ngoài thực tế là (rõ ràng) không có lời tiên tri nào như vậy tồn tại?

— Demi

Đó là trực giác của bạn đi sai. Bạn không thể nhập một "vấn đề", vì các vấn đề không có mô tả hữu hạn nói chung.

— Yuval Filmus

Vì vậy, về cơ bản, ngay cả một nhà tiên tri toàn năng (có thể trả lời bất kỳ câu hỏi nào về nó) vẫn không đủ để giải quyết một số vấn đề, bởi vì không có cách nào để cung cấp cho nhà tiên tri những thông tin cần thiết?

— Demi

Không có thứ gọi là một nhà tiên tri toàn năng, chính xác là vì lý do này. Các bằng chứng về undecidability của vấn đề ngăn chặn có thể được mở rộng để cho thấy rằng đưa ra bất kỳ oracle , vấn đề quyết định có một máy tính với quyền truy cập vào Turing tạm dừng vẫn undecidable truy cập thậm chí trao cho . Mặt khác, chúng ta có thể xây dựng một oracle mà có thể "chuyển hướng" để hoặc giải quyết các vấn đề ngăn chặn cho máy với quyền truy cập vào . Oracle Đây là mạnh hơn .

O

$O$

O

$O$

O

$O$

O

$O$

O

$O$

O

$O$

— Yuval Filmus

À được rồi. Vì vậy, lý do mà các nhà tiên tri toàn năng không tồn tại, trong khi , là vì lời khuyên có thể phụ thuộc vào một lượng thông tin vô hạn về vấn đề?

E X P / e x p = A L L

$EXP/exp = ALL$

— Demi