Một vấn đề heap ary từ CLRS

Tôi đã bối rối trong khi giải quyết vấn đề sau (câu hỏi 1 trận3).

Câu hỏi

Một d đống -ary giống như một đống nhị phân, nhưng (với một ngoại lệ có thể) các nút lá không có d trẻ em thay vì 2 trẻ em.

1. Làm thế nào bạn sẽ đại diện cho một d đống -ary trong một mảng?

2. Chiều cao của một đống d -ary của n phần tử theo n và d là bao nhiêu?

3. Đưa ra một thực hiện có hiệu quả TRÍCH-MAX trong một d -ary max-heap. Phân tích thời gian chạy của nó theo d và n .

4. _{Đưa ra một thực hiện có hiệu quả INSERT trong một d -ary max-heap. Phân tích thời gian chạy của nó theo d và n .}

5. _{Đưa ra một thực hiện có hiệu quả TĂNG-KEY ( Một , i , k ), trong đó cờ một lỗi nếu k <A [i] = k và sau đó cập nhật d -ary ma trận đống cấu trúc một cách thích hợp. Phân tích thời gian chạy của nó theo d và n .}

Giải pháp của tôi

1. Cho một mảng $A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → Ký hiệu của tôi có vẻ hơi phức tạp. Có cái nào đơn giản hơn không?

2. Hãy h biểu thị chiều cao của d đống -ary.

   Giả sử rằng đống là một hoàn thành d -ary cây

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. Đây là triển khai của tôi:

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • Thời gian hoạt động của MAX-HEAPIFY:

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ $c_i$

   • $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → Đây có phải là một giải pháp hiệu quả? Hoặc có điều gì đó sai trong giải pháp của tôi?

1. Giải pháp của bạn là hợp lệ và sau định nghĩa của d đống -ary. Nhưng như bạn đã chỉ ra ký hiệu của bạn là một chút tinh vi.

   Bạn có thể sử dụng hai hàm sau để truy xuất phần tử mẹ của phần tử thứ i và phần tử thứ j của phần tử thứ i .

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   $d$$d=2$$d$$2$

2. $h = log_d(n\,d-1+1) - 1$$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. Cuốn sách CLRS đã cung cấp thủ tục INSERT. Trông như thế này:

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. Cũng giống như INSERT, INCREASE-KEY cũng được định nghĩa trong sách giáo khoa là:

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

Trả lời cho câu hỏi thứ hai là h = log _d (n (d - 1) + 1) - 1 Vì vậy, h = log _d (nd - n + 1) - 1