Tại sao logic thứ nhất (không có số học) GIÁ TRỊ chỉ có thể liệt kê đệ quy và không đệ quy?

"Độ phức tạp tính toán" của Papadimitriou nói rằng GIÁ TRỊ, vấn đề quyết định liệu một công thức logic thứ nhất (không có số học) có hợp lệ hay không, có thể được liệt kê một cách đệ quy. Điều này xuất phát từ các định lý đầy đủ và đúng đắn, tương đương với GIÁ TRỊ và LÝ THUYẾT, vấn đề thứ hai là tìm ra một bằng chứng cho một công thức, trước đây đã được chứng minh là có thể đếm được đệ quy.

Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao GIÁ TRỊ cũng không được đệ quy, bởi vì được đưa ra một công thức , người ta có thể chạy hai Máy Turing cho THEOREMHOOD, một trên và một trên , đồng thời. Vì ít nhất một trong số chúng là hợp lệ, nên luôn có thể quyết định xem có hợp lệ hay không hợp lệ. Tôi đang thiếu gì? $\phi$ $\phi$ $\neg \phi$ $\phi$

Lưu ý: câu hỏi này đề cập đến logic thứ nhất không có số học, do đó Định lý không đầy đủ của Gôdel không có ý nghĩa ở đây.

complexity-theory undecidability first-order-logic

— người dùng118967
nguồn

Có liên quan (tôi nghĩ): en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompletiness_theorems

— DW

Câu trả lời:

Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao GIÁ TRỊ cũng không được đệ quy, bởi vì được đưa ra một công thức , người ta có thể chạy hai Máy Turing cho THEOREMHOOD, một trên và một trên , đồng thời. Vì ít nhất một trong số chúng là hợp lệ, nên luôn có thể quyết định xem có hợp lệ hay không hợp lệ. Tôi đang thiếu gì? $\phi$ $\phi$ $\neg \phi$ $\phi$

Cái này sai. Một công thức là hợp lệ nếu nó có trong tất cả các mô hình. $\phi$

Điều không đúng là ít nhất một trong số và phải hợp lệ: cả hai có thể có trong một số mô hình, nhưng không phải tất cả chúng. $\phi$ $\lnot\phi$

Ví dụ tầm thường: lấy FOL với hai ký hiệu không đổi và công thức . Sau đó giữ trong một số mô hình (những mô hình diễn giải và có cùng một điểm), nhưng không phải tất cả chúng (một mô hình có thể ánh xạ chúng tới các điểm khác biệt). Và thực tế, FOL không thể chứng minh cũng như . ${\sf a}, {\sf b}$ $\phi \equiv {\sf a}={\sf b}$ $\phi$ $\sf a$ $\sf b$ ${\sf a} = {\sf b}$ ${\sf a} \neq {\sf b}$

— chi
nguồn

Cảm ơn vì đã tìm ra những gì tôi đã thiếu, điều này có ý nghĩa. Nhưng sau đó tôi đoán tập hợp các câu hợp lệ (công thức không có biến miễn phí) được đệ quy sau đó, vì trong trường hợp đó, một trong hai

ϕ

$\phi$ hoặc là

\neg ϕ

$\neg \phi$ phải hợp lệ

— dùng118967

Không.

\forall x, y . x = y

$\forall x, y.\ x=y$ đúng trong các mô hình chỉ có một yếu tố và sai trong các mô hình có nhiều hơn một. Nó không hợp lệ, không phải là phủ định của nó. Và không có biến miễn phí.

— chi

Trên thực tế, suy nghĩ thêm về nó. Nếu tập hợp các câu hợp lệ là đệ quy, thì có vẻ như tôi có thể chỉ ra rằng tập hợp các công thức hợp lệ cũng được đệ quy bằng cách làm như sau: đưa ra một công thức

ϕ

$\phi$ với hằng số

a_{1}, \dots, a_{m}

$a_1,\dots,a_m$ , quyết định xem câu

\forall a_{1}, \dots, a_{m} ϕ

$\forall a_1,\dots,a_m \phi$ có giá trị Nếu nó là,

ϕ

$\phi$ có giá trị; nếu không thì,

ϕ

$\phi$ không hợp lệ Dù bằng cách nào, tôi có thể quyết định xem nó có trong tập hợp các công thức hợp lệ hay không. Tôi đang thiếu gì bây giờ?

— dùng118967

Cũng xem xét

\forall x . p (x) ⟹ q (x)

$\forall x. \ p(x) \implies q(x)$ - nó chỉ giữ trong các mô hình nơi vị ngữ

p

$p$ và

q

$q$ được giải thích phù hợp. Trong FOL, bạn có các biến vị ngữ, ký hiệu không đổi và ký hiệu hàm. Ngay cả khi không có biến miễn phí, bạn có thể sử dụng các biến vị ngữ, v.v. để viết những thứ phức tạp có thể đúng hoặc không đúng.

— chi

Tất nhiên là có. Điểm cuối cùng này thực sự làm cho tất cả rõ ràng. Cảm ơn.

— dùng118967

Câu thứ tự đầu tiên là hợp lệ nếu nó đúng trong mọi mô hình có thể, nghĩa là, nếu nó đúng với tất cả các lựa chọn về các ký hiệu quan hệ, ký hiệu hàm (nếu có) và các ký hiệu không đổi có nghĩa. Một câu có thể chứng minh được trong một số hệ thống chứng minh nếu hệ thống chứng minh đó có bằng chứng về câu đó.

Lưu ý rằng tính chứng minh và tính hợp lệ là hai khái niệm riêng biệt, nhưng nỗ lực của bạn để chứng minh rằng tính hợp lệ là đệ quy thực sự xác định tính chứng minh, không phải tính hợp lệ.

Hiệu lực và khả năng chứng minh được gắn với nhau bởi hai khái niệm khác:

một hệ thống bằng chứng là âm thanh nếu mọi thứ nó có thể chứng minh là hợp lệ, nghĩa là nó chỉ cho phép bạn chứng minh những điều thực sự đúng;
một hệ thống bằng chứng hoàn tất nếu nó có thể chứng minh mọi thứ hợp lệ, nghĩa là nó cho phép bạn chứng minh tất cả những điều đó là đúng.

Vì vậy, phương pháp được đề xuất của bạn sẽ ổn nếu bạn đang sử dụng một hệ thống bằng chứng hoàn chỉnh và hợp lý: điều đó có nghĩa là bạn có thể chứng minh chính xác tất cả các câu hợp lệ để quyết định tính chứng minh sẽ giống như quyết định tính hợp lệ. Thật không may, các định lý không hoàn chỉnh nổi tiếng của Gôdel nói rằng không có hệ thống chứng minh âm thanh và hoàn chỉnh cho logic thứ nhất.

Vì vậy, nếu hệ thống của bạn là âm thanh (nó chỉ chứng minh những điều thực sự) thì nó không đầy đủ (nó không chứng minh tất cả những điều thực sự). Đặc biệt, có một số câu $\varphi$ sao cho không $\varphi$ cũng không $\neg\varphi$ có bằng chứng trong hệ thống của bạn, điều đó có nghĩa là máy Turing của bạn không dừng hoạt động $\varphi$ Vì vậy, nó không thực sự quyết định bất kỳ ngôn ngữ. Ngoài ra, nếu hệ thống của bạn hoàn tất (nó chứng minh tất cả những điều đúng), thì nó không có cơ sở: nó chứng minh ít nhất một điều sai và trên thực tế, vì sai ngụ ý bất cứ điều gì, nó chứng minh rằng mọi câu đều hợp lệ. Trong trường hợp đó, máy Turing mà bạn nghĩ sẽ quyết định tính hợp lệ thực sự quyết định $\Sigma^*$ .

— David Richerby
nguồn

Việc bạn sử dụng định lý không hoàn chỉnh đề cập đến logic thứ nhất với số học, nhưng câu hỏi của tôi đề cập đến logic thứ nhất thuần túy, trong đó có một hệ thống chứng minh âm thanh và hoàn chỉnh, theo cuốn sách tôi đang đọc và Định lý hoàn chỉnh của Gôdel. Vì vậy, tôi nghĩ rằng câu hỏi của tôi vẫn chưa được trả lời tại thời điểm này (tôi sẽ làm rõ nó).

— dùng118967

Hệ thống bằng chứng của bạn đủ mạnh để chứng minh các tuyên bố về số học đơn hàng đầu tiên, trong trường hợp đó Goedel áp dụng, hoặc trong trường hợp đó rõ ràng không thể chứng minh tất cả các tuyên bố thứ nhất thực sự, vì nó không thể chứng minh những người về số học.

— David Richerby

Đúng. Nhưng tôi đang nói về logic thứ nhất không có số học, trong khi bạn đang nói về FOL với số học. Đối với FOL không có số học, thực sự có một hệ thống bằng chứng là âm thanh và hoàn chỉnh. Toàn bộ câu hỏi, bao gồm cả định nghĩa về GIÁ TRỊ, có liên quan đến FOL không có số học, vì vậy trong kịch bản này, không cần phải chứng minh các tuyên bố về số học để thiết lập tính hoàn chỉnh.

— dùng118967

Gödel của đầy đủ các chương trình định lý rằng có không tồn tại một hệ thống suy luận hoàn chỉnh âm thanh và cho logic đơn hàng đầu tiên, như vậy mà một câu đầu tiên đặt hàng là một lặp lại không cần khi và chỉ khi nó có một khấu trừ hữu hạn. Các bất toàn chương trình định lý rằng có thể có câu đó là chính thức không phụ thuộc vào các tiên đề của lý thuyết của bạn: không phải câu cũng không phủ định của nó là một lặp lại không cần. Khi liên quan đến số học, định lý không hoàn chỉnh cho thấy lược đồ tiên đề PA bậc nhất có thể thất bại, không giống như tiên đề cảm ứng "thật" (là câu thứ hai).

— Mike Battaglia