Độ phân giải của một vấn đề liên quan đến đa thức

Tôi đã gặp một vấn đề thú vị sau: hãy để là đa thức trên trường số thực và chúng ta giả sử rằng các hệ số của chúng đều là số nguyên (nghĩa là có một biểu diễn chính xác hữu hạn của các đa thức này). Nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng mức độ của cả hai đa thức đều bằng nhau. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng (resp. ) giá trị tuyệt đối lớn nhất của một số gốc (thực hoặc phức) của đa thức (resp. ). Là tài sản thể quyết định?$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

Nếu không, tài sản này giữ cho một số gia đình đa thức bị hạn chế? Trong bối cảnh mà vấn đề này phát sinh, đa thức là đa thức đặc trưng của ma trận, và gốc của chúng là giá trị riêng.

Tôi biết một số thuật toán số để tính toán gốc của đa thức / giá trị riêng, tuy nhiên những thuật toán này dường như không được sử dụng ở đây, vì đầu ra của các thuật toán này chỉ là gần đúng. Dường như với tôi rằng đại số máy tính có thể hữu ích ở đây, tuy nhiên, thật không may, tôi gần như không có bất kỳ kiến ​​thức nào trong lĩnh vực đó.

Tôi không tìm kiếm một giải pháp chi tiết cho vấn đề này, tuy nhiên bất kỳ trực giác và ý tưởng nào để tìm kiếm giải pháp sẽ hữu ích.

Cảm ơn bạn trước.

Tôi cũng không am hiểu về lĩnh vực đó, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể cung cấp một câu trả lời không mang tính xây dựng.

Lý thuyết bậc nhất của các trường kín thực sự là có thể quyết định. Vấn đề của bạn có thể được nêu dưới dạng một hệ phương trình đại số và bất phương trình so với các số đại số thực. Hãy xem xét biến . Bạn muốn biết liệu hệ thống sau có thỏa đáng hay không: $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

Hai họ phương trình đầu tiên biểu thị rằng và là gốc của các đa thức, hai họ thức tiếp theo biểu thị rằng và có giá trị tuyệt đối lớn nhất và cuối cùng so sánh các giá trị tuyệt đối lớn nhất này.$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

Nó có thể quyết định liệu hệ thống này có thỏa đáng hay không: vấn đề của bạn là có thể quyết định được. Tuy nhiên, tuyên bố này có lẽ không phải là cách hiệu quả nhất để đi về nó.

Một câu trả lời hữu ích hơn có lẽ liên quan đến lý thuyết về các căn cứ của Gröbner . Nếu bạn đang cố gắng tự giải quyết vấn đề đó, tôi nghĩ rằng việc đọc một vài chương đầu tiên của bất kỳ cuốn sách đại số tính toán nào sẽ cung cấp cho bạn nền tảng cần thiết. Nếu bạn chỉ nhằm giải quyết vấn đề tiềm ẩn của mình, có thể có một thuật toán sẵn có mà bạn có thể thực hiện.

Tôi có thể sai về điều này: Tôi cũng không am hiểu lắm về lĩnh vực này (các chuyên gia ở đâu!?), Nhưng tôi tin rằng tôi có một thuật toán khá nhanh cho những gì bạn đang hỏi.

Tôi sẽ cho rằng, vì đơn giản, tất cả các gốc là có thật. Tìm một khoảng giới hạn trên gốc của với giá trị tuyệt đối cao nhất (nghĩa là một khoảng sao cho và cho tất cả các gốc khác của ). Một khoảng như vậy có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng kết hợp phân đôi và định lý Sturm . Bây giờ tính toán GCD đa thức của và . Xác minh rằng có gốc trong (một lần nữa với định lý Sturm).$P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

Nếu tôi không nhầm, có một gốc rễ đó khi và chỉ khi và có một gốc chung trong , do đó chỉ có thể nếu là cội rễ . Cả việc áp dụng định lý Sturm và GCD đều khá nhanh (không quá bậc hai về kích thước của đa thức trên thực tế).$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

Đây chỉ là một bản phác thảo, nhưng sẽ không mất nhiều thời gian để biến nó thành một thuật toán chân thực , thực tế tôi nghi ngờ rằng việc sử dụng Maple hoặc Mathicala sẽ làm cho việc này trở nên tầm thường.