Cung cấp ví dụ chặt chẽ trong phân tích thuật toán gần đúng

Giả sử tôi đã tìm thấy thuật toán xấp xỉ 2 cho một vấn đề nhất định và tôi muốn chỉ ra rằng phân tích này chặt chẽ.

Bây giờ tôi có cần đưa ra một ví dụ về kích thước chung hay không, liệu nó có đủ để cho thấy rằng tôi có một ví dụ về kích thước mà thuật toán mang lại không?$n$$10$$2OPT$

Điều đó phụ thuộc vào định nghĩa của bạn về tỷ lệ gần đúng. Thông thường tỷ lệ gần đúng được định nghĩa là tỷ lệ xấu nhất giữa giải pháp tối ưu và tỷ lệ được tạo bởi thuật toán của bạn. Nếu đây là trường hợp, tất cả những gì bạn cần chỉ ra rằng tỷ lệ chặt chẽ được đưa ra với một ví dụ xấu.

Tuy nhiên, đôi khi, bạn chứng minh một cái gì đó như . Điều này có nghĩa là tỷ lệ gần đúng của bạn thực sự là . Để chỉ ra rằng điều này chặt chẽ, bạn sẽ cần một ví dụ cho vô số kích thước (nhưng không nhất thiết phải là kích thước chung ; có lẽ tất cả các ví dụ của bạn đều có kích thước chẵn).$ALG \leq 2OPT + 1$$2 + o(1)$

Nếu thuật toán của bạn đạt được xấp xỉ 1,5 trên tất cả trừ một trường hợp hữu hạn , thì thuật toán của bạn đạt được xấp xỉ 2, thì bạn có thể "cải thiện" thuật toán của mình bằng cách "cứng" các giải pháp tối ưu cho các trường hợp trong vào thuật toán của bạn . Nói tóm lại, với mục đích lý thuyết, một thuật toán thành công trên tất cả nhưng một tập hợp hữu hạn cũng tốt như thuật toán luôn thành công. Do đó, một ví dụ chặt chẽ về mặt lý thuyết thực sự là một họ vô hạn của các ví dụ chặt chẽ. Như Yuval nói, bất kỳ họ ví dụ vô hạn nào cũng sẽ làm được, bạn không cần một ví dụ cho mọi kích thước cá thể.$S$$S$

Điều đó đang được nói, hầu hết các vấn đề cho phép bạn "nhân rộng" một ví dụ nhỏ thành một ví dụ lớn hơn.