Độ sâu của cây nhị phân hoàn chỉnh với

Câu hỏi này sử dụng định nghĩa sau đây về cây nhị phân hoàn chỉnh ^† :

Cây nhị phân $T$ với $N$ các cấp hoàn thành nếu tất cả các cấp ngoại trừ có thể là cấp cuối cùng hoàn toàn đầy đủ và cấp cuối cùng có tất cả các nút ở bên trái.

Sau đây là đoạn trích từ Thuật toán :

Nó ($\log N$) cũng là độ sâu của cây nhị phân hoàn chỉnh với $N$điểm giao. (Chính xác hơn:$⌊\log N⌋$.)

Tại sao đoạn trích trên là đúng?

^† Nguyên được xác định ở đây

Xem xét làm thế nào một cây nhị phân hoàn chỉnh về chiều cao $h$ được xây dựng, một đỉnh ở cấp gốc, hai ở cấp đầu tiên bên dưới gốc, bốn ở cấp thứ hai bên dưới, và cứ thế, cho đến khi $h^{th}$cấp độ, có ít nhất một đỉnh, nhưng nhiều nhất gấp đôi so với cấp trước. Lưu ý rằng số đỉnh ở mỗi cấp là lũy thừa của hai (không bao gồm đỉnh, đây là trường hợp đặc biệt). Sau đó chúng tôi có:

$$1+\sum_{i=0}^{h-1}2^{i} \leq n \leq \sum_{i=0}^{h}2^{i}$$ Sử dụng danh tính là tổng của đầu tiên $k$ quyền hạn của hai là $2^{k+1}-1$ chúng tôi nhận được: $$1+2^{h}-1 \leq n \leq 2^{h+1}-1\\ 2^{h} \leq n \leq 2^{h+1}-1$$ và do đó $$2^{h} \leq n < 2^{h+1}$$

Lấy logarit cơ sở 2:

$$h \leq \log n < h+1$$ Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận $$h = \lfloor\log n\rfloor$$ Như $\log n$ nó to hơn $h$, nhưng ít hơn số nguyên tiếp theo $h+1$.