Làm thế nào các giải pháp của một phương trình Diophantine có thể được thể hiện như một ngôn ngữ?

Tôi đã được đưa ra câu hỏi

Trường hợp ngôn ngữ nào sau đây phù hợp với hệ thống phân cấp Chomsky?

Giải pháp không âm $(x,y)$ phương trình Diophantine $3x-y=1$.

Tôi hiểu các ngôn ngữ như , nhưng ngôn ngữ này làm tôi bối rối. Các từ trong ngôn ngữ trông như thế nào? Làm thế nào tôi có thể biểu diễn nó bằng ngữ pháp hoặc biểu thức chính quy?$L = \{ 0^n1^n \mid n \ge 1\}$

Điều đầu tiên bạn sẽ muốn làm là xem xét chính cụm từ đó và bỏ qua tất cả các tham chiếu đến các ngôn ngữ trong giây lát.

Vì vậy, các giải pháp không âm cho phương trình diophantine là gì $3x-y=1$? Nếu chúng tôi sửa một số$x$, sau đó $y = 3x-1$. Điều này có nghĩa là tập hợp các giải pháp là$\{ (x, 3x-1)\ |\ x > 0 \}$ (lưu ý rằng $x=0$ mang lại một tiêu cực $y$và tích cực $x$ mang lại một sự tích cực $y$).

Bây giờ, chúng ta có thể liên kết một chuỗi với bất kỳ cặp số không âm nào $(x, y)$: ví dụ, $(100, 299)$ có thể được liên kết với chuỗi (100, 299) . Nếu chúng ta áp dụng điều này cho mọi cặp trong tập hợp, tập hợp chuỗi kết quả là ngôn ngữ của tập hợp này. Lưu ý rằng câu hỏi không thực sự làm rõ cách liên kết một chuỗi với một giải pháp, nhưng tôi khá chắc chắn rằng chúng có nghĩa như trên.

Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là tìm ra mức độ của Phân cấp Chomsky mà ngôn ngữ này rơi vào. Vì tôi có một nghi ngờ nhẹ rằng đây là một câu hỏi bài tập về nhà, tôi sẽ không đổ đậu ngay lập tức. Nếu bạn có thể xác nhận đây không phải là câu hỏi bài tập về nhà và bạn vẫn cần trợ giúp, tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời.

Báo cáo vấn đề thực sự chưa hoàn chỉnh, nhưng khi bạn thấy điều này, bạn có thể giả định một cách an toàn rằng, đại diện cho các số nguyên trong ký hiệu thập phân , hay đại diện cho các số nguyên trong ký hiệu nhị phân .

Vì vậy, ở đây, nếu chúng ta giả ký hiệu nhị phân, bảng chữ cái là chứa 5 ký tự: 0, 1, (, )và ,. Nếu chúng ta giả sử ký hiệu thập phân, bảng chữ cái sẽ chứa các chữ số 2thông qua 9.

Ngôn ngữ trong câu hỏi là tập hợp con của ngôn ngữ khớp với biểu thức chính quy $\mathtt{(}(0|1)^*\mathtt{,}(0|1)^*\mathtt{)}$(đi với ký hiệu nhị phân). Nếu chúng ta giả sử trường hợp đơn giản hơn của phương trình$2x-y=0$, sau đó ngôn ngữ sẽ là tất cả các cặp số $(x,y)$ như vậy mà $y = 2x$. Trong nhị phân, điều này có nghĩa là$y$ Là $x$với một bổ sung 0ở cuối. Nói cách khác, ngôn ngữ sẽ bao gồm các từ có dạng($x$,$x$0). Trường hợp này phù hợp với hệ thống phân cấp Chomsky?

Ở đây, chúng tôi có một ví dụ phức tạp hơn: bạn phải nhận ra liệu $y = 3x-1$. Làm thế nào để mở rộng nhị phân (hoặc thập phân) của$x$ và $y$ so sánh khi $y=3x-11$?

Câu hỏi chưa đầy đủ, vì một ngôn ngữ là một tập hợp các từ, không phải các cặp. Nếu bạn mã hóa nó thành$x\$y$ Ở đâu $x,y$ là ở dạng nhị phân, nó nhạy với ngữ cảnh nhưng không có ngữ cảnh (xem câu trả lời của Gilles), nếu bạn mã hóa nó dưới dạng $x\$y^R$ nó không có ngữ cảnh nhưng không thường xuyên (tập thể dục), nếu bạn xen kẽ các bit của $x$ và $y$, nó là thường xuyên! Xem ở đây .