Vấn đề đa dạng tối đa đơn giản hóa

Vấn đề đa dạng tối đa yêu cầu chọn mục từ danh sách mục, sao cho độ đa dạng được xác định là khoảng cách số liệu giữa các mục được tối đa hóa.$m$$n$

Tôi có một vấn đề đơn giản hơn, mà tôi đã hy vọng tôi có thể giải quyết theo cách đơn giản hơn. Trong trường hợp của tôi, tôi có một danh sách gồm mục với một khóa không duy nhất. Tôi muốn chọn mục từ danh sách của mình để số lượng mục tối đa trên mỗi khóa được giảm thiểu .$n$$m$

ví dụ: nếu danh sách của tôi là:

('a', 5), ('b', 4), ('c', 2), ('a', 6), ('b', 5)

và chúng ta phải chọn mục, một giải pháp tối ưu sẽ là một danh sách chứa một mục cho mỗi khóa.$m=3$

Có một thuật toán để làm điều này đơn giản hơn các thuật toán cho Bài toán Đa dạng Tối đa không?

Các thuật toán sau nên làm việc.

Thuật toán tiến hành trong nhiều vòng. Tại mỗi vòng, hãy$m'$là số lượng các mặt hàng còn lại để lấy. Lấy một mục trên mỗi khóa, tối đa$m'$các mục, và loại bỏ các mục này. Nếu chúng ta lấy$m'$các mục, thuật toán chấm dứt. Nếu không, tiếp tục vòng tiếp theo.

Chúng tôi để lại bằng chứng chính xác (hoặc một ví dụ mẫu) cho người đọc.

Nghĩ về nó nhiều hơn một chút, tôi nghĩ rằng tôi có một thuật toán "một lần vượt qua" để giải quyết vấn đề này.

Để đó đi $n$ các mặt hàng với $k$ chìa khóa, với $n_i$các mục cho mỗi phím. Chúng tôi muốn chọn$m_i\le n_i$, như vậy mà $\sum m_i = m$và đó $\max{m_i}$ được giảm thiểu.

Rõ ràng, nếu cho tất cả $n_i$ chúng ta có $n_i > m/k$, chúng tôi chỉ cần chọn $m_i = m/k$. Mặt khác, chúng tôi sử dụng thuật toán sau:

1. Đếm số lượng vật phẩm cho mỗi phím ($n_i$) và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
2. Trong khi $n_i \le m/k$ bộ $m_i=n_i$
3. Cho tất cả $n_i > m/k$, chọn $m_i = \left\lceil \frac{m - \sum_{j<i} m_j}{k-i+1}\right\rceil$

Thuật toán này nên $O(n)$ trong độ dài của danh sách, giả sử số lượng các khóa khác nhau là không đáng kể so với.