Giả định về trọng số trong mạch ngưỡng

Cổng ngưỡng thực hiện chức năng ngưỡng tuyến tính trên đầu vào boolean được đưa ra theo phương trình: trong đó . Các được gọi là các trọng số của hàm ngưỡng và được gọi là ngưỡng và tự nhiên, cổng sẽ bắn trên đầu vào nếu tổng trọng số được đưa ra bởi phương trình trên vượt quá . $n$ $x_1, x_2 \ldots, x_n$ $w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots, w_n x_n \ge t$ $w_1, \ldots, w_n, t \in \mathbb{R}$ $w_i$ $t$ $1$ $x$ $t$

Bây giờ, hầu như ở khắp mọi nơi trong các tài liệu về mạch ngưỡng, tôi gặp phải thực tế này (mà tôi đoán, là văn hóa dân gian kể từ khi tôi không thể tìm thấy bất cứ nơi nào một bằng chứng): Các là trong phương trình tuyến tính trên có thể được thực hiện số nguyên (trên bit) và mạch ngưỡng được tạo thành từ các cổng này sẽ vẫn tính toán bất cứ điều gì có thể với trọng số thực. Tôi đã đưa ra một số suy nghĩ và tôi nghĩ rằng nó phải là một mẹo đơn giản, nhưng tôi đã không có được bằng chứng về thực tế này. Ai đó có thể giúp đỡ hoặc cung cấp cho tôi một tài liệu tham khảo? (tài liệu tham khảo duy nhất tôi có thể tìm thấy là một văn bản của Muroga, mà tôi không thể mua được) $w_i$ $n \log{n}$

complexity-theory circuits

— Nikhil
nguồn

Với , chúng ta hãy là tập các bài tập như vậy , và xem xét các chương trình tuyến tính với các biến và hạn chế Chương trình tuyến tính này (với hàm mục tiêu không đổi) là khả thi (vì là một giải pháp) và do đó, có một giải pháp là một đỉnh. Như vậy, đây là giải pháp của một hệ phương trình có dạng Quy tắc của Cramer cung cấp cho mỗi phương trình $w_1,\ldots,w_n,t$ $X$ $\sum_i w_i x_i \geq t$ $z_1,\ldots,z_n$ $2^n$

\begin{aligned} \sum_{i} z_{i} x_{i} \geq + 1 & (x_{1}, \dots, x_{n}) \in X \\ \sum_{i} z_{i} x_{i} \leq - 1 & (x_{1}, \dots, x_{n}) \notin X \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_i z_i x_i \geq +1 & (x_1,\ldots,x_n) \in X \\ \sum_i z_i x_i \leq -1 & (x_1,\ldots,x_n) \notin X \end{align*}$

z_{i} = w_{i} / t

$z_i = w_i/t$

z_{1}, \dots, z_{n}

$z_1,\ldots,z_n$

n

$n$

\sum_{i} z_{i} x_{i} = \pm 1.

$\sum_i z_i x_i = \pm 1.$

z_{i}

$z_i$ là tỷ lệ của hai xác định ma trận là mục; trong thực tế mẫu số là như nhau. Mỗi tử số và mẫu số chung nhiều nhất làvề độ lớn, do đó nhân mọi thứ với , chúng ta có được một giải pháp tích hợp , trong đó tất cả các đại lượng đều nhiều nhất là về độ lớn.

n \times n

$n \times n$

0, \pm 1

$0,\pm 1$

N_{i}

$N_i$

D

$D$

n!

$n!$

D

$D$

N_{1}, \dots, N_{n}, D

$N_1,\ldots,N_n,D$

n! \leq n^{n} = 2^{n \log n}

$n! \leq n^n = 2^{n\log n}$

— Yuval Filmus
nguồn

Dường như với tôi, với chương trình tuyến tính này, bạn đang mạo hiểm rằng giải pháp đỉnh không cho chức năng giống như ban đầu: cụ thể là hai bộ phương trình có cùng phía bên phải, và do đó bạn có nguy cơ là dạng tuyến tính đưa ra bởi các giải pháp đỉnh có cùng giá trị đầu vào cả hai từ và không phải từ . Để khắc phục điều này, phía bên tay phải phải khác nhau. Bằng chứng bình thường mà tôi biết sử dụng biến (nghĩa là cũng là biến cho ) và sử dụng các cạnh bên phải và .

X

$X$

X

$X$

n + 1

$n+1$

t

$t$

- 1

$-1$

1

$1$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@Kristoffer Bạn nói đúng, đó là một lỗi đánh máy. Ý tôi là và , khi bạn viết.

\geq + 1

$\geq +1$

\leq - 1

$\leq -1$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Có lỗi đánh máy trong cách bạn đếm số phương trình cần giải không? Có vẻ như bạn có phương trình tuyến tính đồng thời để giải. (một cho mỗi ) Và do đó, tất cả các giải pháp đều nhiều nhấtvề độ lớn vì ma trận quy tắc của Cramer là chiều. Tui bỏ lỡ điều gì vậy?

2^{n}

$2^n$

x

$x$

(2^{n})!

$(2^n)!$

2^{n}

$2^n$

— tốt nghiệp

Oh! Chờ đợi! Bạn đang nói rằng người ta có thể chọn bất kỳ nào của s một cách tự nhiên và giải quyết cho hệ thống con này là đủ để cung cấp cho bạn một đỉnh và do đó bạn đã hoàn thành?

n

$n$

x

$x$

— tốt nghiệp

Một đỉnh là nghiệm của phương trình độc lập tuyến tính.

n

$n$

— Yuval Filmus