So sánh số hữu tỉ

Cho $a,b,c,d \in \mathbb N$ và $b,d \notin \{0\}$ ,

$$\begin{eqnarray*} \frac a b < \frac c d &\iff& ad < cb \end{eqnarray*}$$

Câu hỏi của tôi là:

Cho $a,b,c,d$

1. Giả sử chúng ta có thể quyết định $x < y \in \mathbb Z$ trong $\mathcal{O}(|x| +|y|)$ , là có cách nào để quyết định $ad<cb$ mà không cần phải phôi các phép nhân (hoặc bộ phận), $a\cdot d$ và $c \cdot b$ . Hoặc có một số loại bằng chứng rằng không có cách nào.
2. Có một phương pháp nhanh hơn để so sánh các số hữu tỷ hơn là nhân ra các mẫu số.

Nghiên cứu hiện tại của tôi:

Nỗ lực ban đầu ở một số quy tắc chung

Người ta có thể cố gắng đưa ra một số quy tắc chung để giải quyết so sánh hợp lý:

Giả sử tất cả dương :$a,b,c,d$

$$a < b \wedge c \ge d \Longrightarrow \frac a b < \frac c d\\ $$ Điều này về cơ bản có nghĩa là, nếu bên trái ít hơn một, và bên phải ít nhất là một, bên trái ít hơn bên phải. Trong cùng một tĩnh mạch:

$$a \ge b \wedge c \le d \Longrightarrow \frac a b \not\lt \frac c d\\ $$

Một quy tắc khác:

Tôi nghĩ quy tắc này là hợp lý, vì mẫu số càng lớn, số càng nhỏ, trong khi tử số càng lớn, số càng lớn. Do đó, nếu bên trái có mẫu số lớn hơnvàtử số nhỏ hơn, bên trái sẽ nhỏ hơn.

$$(b > d) \wedge (a \le c) \Rightarrow \left[\frac a b < \frac c d\right]$$

Từ đây trở đi, chúng ta sẽ giả sử rằng , bởi vì nếu không, chúng ta có thể giải quyết nó bằng các quy tắc ở trên hoặc đảo ngược câu hỏi thành $a<c \wedge b < d$ , và dù sao chúng ta cũng kết thúc với tình trạng này.$\frac c d \overset ? < \frac a b$

Quy tắc :

$$\left. \\ \frac {(b-a)} b < \frac {(d-c)} d \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$ Về cơ bản, quy tắc này nói rằng bạn luôn có thể trừ các tử số khỏi mẫu số và đặt kết quả làm tử số để có được một vấn đề tương đương. Tôi sẽ để lại bằng chứng.

$$\left. \\ \frac {a} b < \frac {c-a} {d-b} \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$

Quy tắc này cho phép bạn trừ đi tử số và mẫu số bên trái từ tử số và mẫu số bên phải cho một vấn đề tương đương.

Và tất nhiên là có tỉ lệ:

$$\left. \\ \frac {ak} {bk} < \frac {c} {d} \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$ Bạn có thể sử dụng tỷ lệ để làm cho các quy tắc trừ ở trên có ý nghĩa hơn.

Sử dụng các quy tắc này, bạn có thể chơi xung quanh với mọi thứ, áp dụng chúng nhiều lần, trong các kết hợp thông minh, nhưng có những trường hợp số gần nhau và bệnh lý.

Bằng cách áp dụng các quy tắc trước đó, bạn có thể giảm tất cả các vấn đề này thành: a

$$\left. \frac a b < \frac {ap+q} {bp'+q'} \iff \frac a b < \frac {q} {q'} \right|_{a>q,b>q'}$$

Đôi khi bạn có thể giải quyết điều này trực tiếp bây giờ, đôi khi không. Các trường hợp bệnh lý thường ở dạng:

$$\left. \frac a b < \frac {c} {d} \right|_{a>c,b>d,c\in \mathcal O(a), d \in \mathcal O(b)}$$

Sau đó, bạn lật nó, và kết quả là điều tương tự, chỉ với một chút ít hơn. Mỗi ứng dụng của quy tắc + lật làm giảm nó bằng một chữ số / bit. AFAICT, bạn không thể nhanh chóng giải quyết nó, trừ khi bạn áp dụng quy tắc lần (một lần cho mỗi chữ số / bit) trong trường hợp bệnh lý, phủ nhận lợi thế dường như của chúng.$\mathcal O(n)$

Vấn đề mở ??

Tôi nhận ra rằng vấn đề này dường như khó hơn một số vấn đề mở hiện tại.

Một vấn đề thậm chí còn yếu hơn là xác định:

$$ad \overset ? = bc$$

Và còn yếu hơn:

$$ad \overset ? = c$$

Đây là vấn đề mở của xác minh nhân . Đó là yếu hơn, bởi vì nếu bạn đã có một cách để xác định , sau đó bạn có thể dễ dàng xác định một d ? = b c , bằng cách kiểm tra bằng thuật toán hai lần, a d ? < b c , b c ? < a d . Iff hoặc là đúng, bạn biết rằng một $ad \overset ? < bc$$ad \overset ? = bc$$ad \overset ? < bc$$bc \overset ? < ad$ .$ad \ne bc$

Bây giờ, là một vấn đề mở, ít nhất là vào năm 1986:$ad \overset ? = c$

Sự phức tạp của phép nhân và chia. Hãy bắt đầu với phương trình rất đơn giản ax = b. Khi xem xét qua các số nguyên, kiểm tra khả năng thanh toán của nó và tìm một giải pháp x có thể bằng cách chia số nguyên với số dư còn lại. Để kiểm tra một giải pháp x đã cho, phép nhân số nguyên sẽ đủ, nhưng đây là một vấn đề mở thú vị cho dù có phương pháp xác minh nhanh hơn.

- KIẾN TRÚC KIẾN TRÚC trong phương trình giải các thuật ngữ về độ phức tạp tính toán

Rất thú vị, anh ấy cũng đề cập đến câu hỏi về xác minh nhân ma trận :

Đây cũng là một câu hỏi thú vị về việc xác minh nhân ma trận, tức là kiểm tra xem AB = G cho C đã cho, có thể được thực hiện nhanh hơn không.

- KIẾN TRÚC KIẾN TRÚC trong phương trình giải các thuật ngữ về độ phức tạp tính toán

Điều này đã được giải quyết và thực sự có thể xác minh trong thời gian bằng thuật toán ngẫu nhiên (với n × $\mathcal O(n^2)$$n\times n$ là kích thước của ma trận đầu vào, vì vậy về cơ bản là thời gian tuyến tính theo kích thước của đầu vào ). Tôi tự hỏi liệu có thể giảm phép nhân số nguyên thành phép nhân ma trận, đặc biệt là với các điểm tương đồng của chúng, với các điểm tương tự của phép nhân số nguyên Karatsuba với các thuật toán nhân ma trận theo sau. Sau đó, có lẽ bằng một cách nào đó chúng ta có thể tận dụng thuật toán xác minh nhân ma trận để nhân số nguyên.

Dù sao, vì điều này vẫn còn, theo hiểu biết của tôi, một vấn đề mở, vấn đề mạnh hơn của $ad \overset ? < cd$ chắc chắn là mở. Tôi tò mò nếu giải quyết vấn đề xác minh bình đẳng sẽ có bất kỳ ảnh hưởng nào đến vấn đề xác minh bất bình đẳng so sánh.

Một sự thay đổi nhỏ của vấn đề của chúng tôi sẽ là nếu các phân số được đảm bảo giảm xuống các điều khoản thấp nhất; trong trường hợp này thật dễ dàng để biết nếu $\frac a b \overset ? = \frac c d$ . Điều này có thể có bất kỳ liên quan đến xác minh so sánh cho các phân số giảm?

Một câu hỏi thậm chí tinh vi hơn, nếu chúng ta có cách để kiểm tra , điều này sẽ mở rộng để thử nghiệm một d ? = c ? Tôi không thấy làm thế nào bạn có thể sử dụng "cả hai cách" như chúng tôi đã làm cho một d ? < c d .$ad \overset ? < c$$ad \overset ? = c$$ad \overset ? < cd$

Liên quan:

• Công nhận gần đúng các ngôn ngữ không thường xuyên của Finite Automata

  Họ thực hiện một số công việc về phép nhân gần đúng và xác minh ngẫu nhiên mà tôi không hiểu đầy đủ.

• math.SE: Làm thế nào để so sánh hai phép nhân mà không cần nhân?
• Giả sử chúng tôi được phép preprocess nhiều như chúng tôi muốn trong thời gian đa thức, chúng ta có thể giải quyết một b = $c$$ab=c$ trong thời gian tuyến tính?
• Có một thuật toán nhân số nguyên không thời gian tuyến tính? Xem http://compgroups.net/comp.theory/nondeterministic-linear-time-multiplication/1129399

  Có các thuật toán nổi tiếng để nhân các số n bit với độ phức tạp như O (n log (n) log (log (n))). Và chúng ta không thể làm tốt hơn O (n) vì ít nhất chúng ta phải xem xét toàn bộ đầu vào. Câu hỏi của tôi là: chúng ta thực sự có thể đạt O (n) cho một lớp thuật toán "không xác định" phù hợp không?

  Chính xác hơn, có một thuật toán có thể chấp nhận hai số nhị phân n bit "a" và "b" và số 2n bit "c" và cho bạn biết trong thời gian O (n) liệu "a * b = c" không? Nếu không, có một số dạng chứng chỉ C (a, b, c) khác sao cho thuật toán có thể sử dụng nó để kiểm tra sản phẩm trong thời gian tuyến tính không? Nếu không phải là thời gian tuyến tính, thì vấn đề kiểm tra sản phẩm ít nhất là dễ dàng hơn so với việc tính toán nó? Bất kỳ kết quả được biết dọc theo những dòng này sẽ được hoan nghênh.

  John.

  ―Johnh4717

${mod}$$mod\ 2$$mod\ 3$$q = k_1 a +k_2 b+k_3 c + k_4 d = \sum k_ia$$k$$q$$O(\sum|a|)$

$B:B=1$$ad>bc$$a,b,c,d$$\mathbb{R}^4$$B$$ad = bc$$(a,b,c,d)$$q: |q-a| = k_1,$

(Làm thế nào để làm cho điều này chính xác hơn?) Khoảng cách từ hình khối đến bề mặt nói chung là không giới hạn, và do đó bề mặt không thể được tính toán bởi người quyết định

Câu hỏi hay. Bạn có chấp nhận mức độ tự tin?

Có lẽ làm phân chia gần đúng. I E

Để tính các chỉ số gần đúng giới hạn của a / b, phải dịch chuyển a theo trần (log_2 (b)) và theo tầng (log_2 (b)). Sau đó, chúng ta biết thương số chính xác là giữa hai giá trị này.

Sau đó, tùy thuộc vào kích thước tương đối của bốn số nguyên, người ta có thể loại trừ một số trường hợp nhất định và có được độ tin cậy 100%.

Người ta có thể lặp lại quy trình cho cơ số khác 2, và bằng cách nối tiếp các hoạt động như vậy làm tăng mức độ tin cậy, cho đến khi thay đổi dấu hiệu / tie-break được quan sát bằng cách nào đó?

Đó là bản phác thảo đầu tiên của tôi về một phương pháp.

Có cách nào để quyết định quảng cáo <cb mà không phải tạo ra các phép nhân [đắt]

Chắc chắn rồi.

Ý tưởng: So sánh bit mở rộng thập phân theo bit.

Điều khó chịu duy nhất là chúng ta phải loại trừ sự bình đẳng trước vì nếu không chúng ta có thể không chấm dứt.
Trước tiên, rất hữu ích khi so sánh các phần nguyên bởi vì điều đó là dễ dàng.

Xem xét điều này:

def less( (a,b), (c,d) ) = {
  // Compare integer parts first
  intA = a div b
  intC = c div d

  if intA < intB
    return True
  else if intA > intB
    return False
  else // intA == intB
    // Normalize to a number in [0,1]
    a = a mod b
    c = c mod d

    // Check for equality by reducing both
    // fractions to lowest terms
    (a,b) = lowestTerms(a,b)
    (c,d) = lowestTerms(c,d)

    if a == c and b == d
      return False
    else
      do
        // Compute next digits in decimal fraction 
        a = 10 * a
        c = 10 * c

        intA = a div b
        intC = c div d

        // Remove integer part again
        a = a mod b
        c = c mod d
      while intA == intC

      return intA < intC
    end
  end
}

Lưu ý rằng do-whilevòng lặp phải chấm dứt do các số không bằng nhau. Chúng tôi không biết nó chạy trong bao lâu; nếu các số rất gần nhau, nó có thể là một thời gian.

Rõ ràng, không có phép nhân đắt tiền; điều duy nhất chúng ta cần là nhân các ứng cử viên với$10$. Đặc biệt, chúng tôi đã tránh máy tính $ad$ và $cb$ rõ ràng

Có nhanh không Chắc là không. Có rất nhiều phép chia số nguyên, modul và gdcs để tính toán và chúng ta có một vòng lặp có số lần lặp tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa các số chúng ta so sánh.

---

Phương thức trợ giúp:

def lowestTerms(a,b) = {
  d = gcd(a,b)
  if d == 1
    return (a,b)
  else
    return lowestTerms(a div d, b div d)
  end
}