Là thuật toán ngẫu nhiên mang tính xây dựng?

Từ, các bằng chứng bằng phương pháp xác suất thường được cho là không mang tính xây dựng.

Tuy nhiên, một bằng chứng bằng phương pháp xác suất thực sự thiết kế một thuật toán ngẫu nhiên và sử dụng nó để chứng minh sự tồn tại. Trích dẫn từ p103 của thuật toán ngẫu nhiên của Rajeev Motwani, Mitchhakar Raghavan :

Chúng ta có thể xem bằng chứng bằng phương pháp xác suất là một thuật toán ngẫu nhiên. Điều này sau đó sẽ yêu cầu một phân tích sâu hơn ràng buộc xác suất rằng thuật toán không tìm thấy một phân vùng tốt trên một thực thi nhất định. Sự khác biệt chính giữa một thí nghiệm suy nghĩ trong phương pháp xác suất và thuật toán ngẫu nhiên là kết thúc mà mỗi thuật toán mang lại. Khi chúng ta sử dụng phương pháp xác suất, chúng ta chỉ quan tâm đến việc chỉ ra rằng một đối tượng tổ hợp tồn tại; do đó, chúng tôi hài lòng với việc chỉ ra rằng một sự kiện thuận lợi xảy ra với xác suất khác không. Mặt khác, với một thuật toán ngẫu nhiên, hiệu quả là một cân nhắc quan trọng - chúng ta không thể chấp nhận một xác suất thành công rất nhỏ.

Vì vậy, tôi tự hỏi nếu các thuật toán ngẫu nhiên được xem là không mang tính xây dựng, mặc dù chúng đưa ra một giải pháp vào cuối mỗi lần chạy, có thể hoặc không thể là một giải pháp lý tưởng.

Làm thế nào là một thuật toán hoặc bằng chứng được "xây dựng" được định nghĩa?

Cảm ơn!

Phương pháp xác suất thường được sử dụng để chỉ ra rằng xác suất của một số đối tượng ngẫu nhiên có một thuộc tính nhất định là khác không, nhưng không thể hiện bất kỳ ví dụ nào. Nó đảm bảo rằng thuật toán "lặp lại cho đến khi thành công" cuối cùng sẽ chấm dứt, nhưng không đưa ra giới hạn trên cho thời gian chạy. Vì vậy, trừ khi xác suất nắm giữ tài sản là đáng kể, một bằng chứng tồn tại bằng phương pháp xác suất tạo ra một thuật toán rất kém.

Trên thực tế, các thuật toán xác suất không thực sự là bằng chứng tồn tại mang tính xây dựng, nhiều đến mức chúng là thuật toán để tạo ra bằng chứng tồn tại mang tính xây dựng. Đầu ra là một đối tượng của loại mà nó có nghĩa là để chứng minh sự tồn tại của; nhưng thực tế là cuối cùng nó sẽ mang lại một ("sẽ tồn tại một phép lặp trong đó nó mang lại một ví dụ - ngoại trừ với xác suất bằng không ...") là không đủ để mang tính xây dựng; nó sẽ chỉ thỏa đáng với những người đã chấp nhận rằng không phải là không có xác suất mà không cần xây dựng. Ngược lại, nếu bạn có một ràng buộc tốt về thời gian chạy, thì về nguyên tắc không có lý do gì để không chạy nó để thực sự tạo ra một ví dụ. Một thuật toán xác suất tốt vẫn không phải là một bằng chứng mang tính xây dựng, nhưng là một thuật toán tốtkế hoạch để có được một bằng chứng xây dựng.

$n$$n^2$$2n+1$$(n-1)^2$$2n-1$, v.v.) Cảm ứng về cơ bản là một chiến lược chứng minh thuật toán mà chúng ta đã nâng lên thành một định lý, cho phép chúng ta có kiến ​​thức mà không cần tính toán rõ ràng mỗi lần. Tuy nhiên, cảm ứng được chấp nhận một cách xây dựng vì nó đã là một tiên đề (-scheme) của số học Peano và là một độc lập với các tiên đề khác. Ngược lại, không có quy tắc suy luận hay tiên đề nào cho phép phương pháp xác suất chứng minh sự tồn tại một cách xây dựng, hoặc để chứng minh một cách xây dựng rằng các thuật toán xác suất tạo ra bằng chứng tồn tại, hoặc bất cứ điều gì dọc theo các dòng này. Bạn chỉ đơn giản là không thể chứng minh rằng có các ví dụ về một lớp đối tượng từ thực tế là có một thuật toán xác suất để xây dựng nó, trừ khi bạn đã chấp nhận mệnh đề đó, như là một tiên đề hoặc từ các tiền đề khác.

Tất nhiên, người ta có thể chấp nhận một vị trí triết học trung gian cho chủ nghĩa xây dựng và cách tiếp cận cổ điển để tồn tại, và nói rằng cái mà người ta muốn không phải là các công trình mà là lược đồ xây dựng được phép thất bại với bất kỳ xác suất nào nhỏ hơn một; điều đó sẽ làm cho bất kỳ "sơ đồ" xây dựng xác suất, nếu không hoàn toàn mang tính xây dựng. Trường hợp một người muốn vẽ đường thẳng, để nói rằng họ tìm thấy một bằng chứng tồn tại "thỏa đáng", cuối cùng phụ thuộc vào mức độ trực giác (theo nghĩa phi triết học) mà họ muốn đạt được từ các bằng chứng.

Độ phức tạp chứng minh thống nhất là một lĩnh vực dành (trong số khác) để nghiên cứu các khái niệm xây dựng của bằng chứng, và mối quan hệ của chúng với các lớp phức tạp. Đối với mỗi lớp phức tạp mạch (đồng nhất) phổ biến, người ta có thể định nghĩa một lý thuyết trong đó mọi thứ có thể chứng minh được đều có "sự ủng hộ" trong một thuật toán trong lớp phức tạp này. Các thuật toán ngẫu nhiên được cung cấp thông qua các phiên bản của nguyên tắc pigeonhole (đủ kỳ lạ).

Thật không may, tôi không phải là một chuyên gia nên tôi không thể nói nhiều hơn, ngoài việc đưa bạn đến cuốn sách của Cook và Nguyen (cùng Cook như trong định lý của Cook) và về công việc của Emil Jeřábek , đặc biệt là luận án của ông về tính toán ngẫu nhiên.