Các vấn đề được phỏng đoán nhưng không được chứng minh là dễ dàng

Chúng tôi có nhiều vấn đề, như nhân tố hóa, được phỏng đoán mạnh mẽ, nhưng không được chứng minh, nằm ngoài P. Có câu hỏi nào với thuộc tính ngược lại, cụ thể là chúng được phỏng đoán mạnh mẽ nhưng không được chứng minh là nằm trong P không?

Hai thập kỷ trước, một trong những câu trả lời hợp lý sẽ là kiểm tra tính nguyên thủy : có các thuật toán chạy trong thời gian đa thức ngẫu nhiên và các thuật toán chạy trong thời gian đa thức xác định theo một phỏng đoán lý thuyết số xác định, nhưng không có thuật toán xác định thời gian xác định. Năm 2002, điều đó đã thay đổi với kết quả đột phá của Agrawal, Kayal và Saxena rằng thử nghiệm nguyên thủy là ở P. Vì vậy, chúng ta không còn có thể sử dụng ví dụ đó nữa.

Tôi sẽ đặt kiểm tra nhận dạng đa thức làm ví dụ về một vấn đề có cơ hội tốt ở P, nhưng không ai có thể chứng minh được. Chúng tôi biết các thuật toán đa thức thời gian ngẫu nhiên để kiểm tra nhận dạng đa thức, nhưng không có thuật toán xác định. Tuy nhiên, có những lý do chính đáng để tin rằng các thuật toán ngẫu nhiên có thể bị tách rời.

Ví dụ, trong mật mã, người ta tin tưởng mạnh mẽ rằng các trình tạo giả ngẫu nhiên có độ an toàn cao tồn tại (ví dụ, AES-CTR là một ứng cử viên hợp lý). Và nếu đó là sự thật, thì thử nghiệm nhận dạng đa thức phải ở P. (Ví dụ: sử dụng một hạt giống cố định, áp dụng trình tạo giả ngẫu nhiên và sử dụng đầu ra của nó thay cho các bit ngẫu nhiên; sẽ thất bại rất lớn. ) Điều này có thể được thực hiện chính thức bằng cách sử dụng mô hình nhà tiên tri ngẫu nhiên; nếu chúng ta có các hàm băm có thể được mô hình phù hợp theo mô hình orory ngẫu nhiên, thì nó sẽ có một thuật toán thời gian đa thức xác định để kiểm tra nhận dạng đa thức.

Để biết thêm chi tiết về lập luận này, xem thêm câu trả lời của tôi về một chủ đề liên quan và nhận xét của tôi về một câu hỏi liên quan .

Đó là một câu hỏi khó, bởi vì không có sự đồng thuận. Vẫn có những người phỏng đoán rằng .$P=NP$

Nhưng trong suy nghĩ của tôi, vấn đề đáng chú ý nhất với một phỏng đoán quan trọng rằng nó ở là biểu đồ đẳng cấu$P$

Nhưng, một lần nữa, không ai thực sự biết.

Nói chung, "phỏng đoán rằng nó ở " sẽ rất hiếm. Chúng tôi chỉ phỏng đoán rằng một vấn đề nằm ở P nếu chúng tôi chưa có thuật toán thời gian đa thức cho nó. Nhưng, không thể tìm thấy thuật toán P cho nó, sau ngần ấy năm, có lẽ sẽ được coi là "bằng chứng" cho thấy vấn đề này khó, không dễ.$P$$P$$P$

$\sf NP\cap coNP$$e^{O(\sqrt{n})}$$n$$\sf P$