Độ rộng cây của đồ thị lưới vuông kxk

Theo một số slide tôi tìm thấy trên google, treewidth của bất kỳ biểu đồ lưới vuông là . Tôi mới bắt đầu nghiên cứu về treewidth và phân hủy cây, và phần lớn nó có ý nghĩa. Tuy nhiên, tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp biểu đồ lưới vuông , nhưng đã phải vật lộn để làm thế nào có thể thực hiện phân tách cây của một biểu đồ như vậy với độ rộng thấp đó.$k \times k$ $G$$tw(G) = k$$k \times k$

Một trong những vấn đề tôi gặp phải khi cố gắng rút ra các cây phân rã của các ô vuông nhỏ có các nhóm nhiều nhất là (để đảm bảo cây phân rã có chiều rộng là ) là do đồ thị là "tuần hoàn", một trong những các nút góc xuất hiện ở hai đầu đối diện của cây, nhưng không ở bất kỳ nút nào trên đường dẫn giữa hai. Điều này rõ ràng vi phạm thuộc tính kết hợp của cây phân rã, theo Wikipedia (đưa ra định nghĩa chính xác hơn hầu hết) là:$k+1$$k$

Nếu , và là các nút (trong cây phân tách) và nằm trên đường dẫn từ đến , thì .$X_{i}$$X_{j}$$X_{k}$$X_{k}$$X_{i}$$X_{j}$$X_{i}\cap X_{j}\subseteq X_{k}$

Đối với trường hợp của đồ thị , cây phân rã duy nhất hợp lệ (hoặc ít nhất là tôi tin là hợp lệ) tôi có thể nghĩ là chứa 2 nút: trong đó các nút được gắn nhãn theo hàng bắt đầu từ góc trên cùng bên trái:$3 \times 3$$\{\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 6, 8\}\}$

$1\space2\space3$

$4\space5\space6$

$7\space8\space9$

Tôi đã làm điều này bằng cách lấy các đỉnh chu vi cho nút cây đầu tiên và đỉnh bên trong ( ) cùng với các đỉnh liền kề của nó để đảm bảo tất cả các cạnh và đỉnh được bao gồm.$5$

Cuối cùng, câu hỏi của tôi là, làm thế nào để treewidth của một đồ thị lưới vuông vuông thực sự bằng ? Và nếu điều này là chính xác, bạn có thể trình bày / giải thích một ví dụ đơn giản về cây phân rã thể hiện tính chất này không?$k \times k$$k$

Treewidth (và độ rộng đường dẫn) của lưới chính xác là . (Và, nói chung hơn, treewidth và độ rộng đường dẫn của lưới chính xác là ). Đối với lưới ví dụ$k\times k$$k$$k\times\ell$$\min\,\{k,\ell\}$

các túi phân hủy cây là .$\{1,2,3,4\}, \{2,3,4,5\}, \{3,4,5,6\}, ..., \{6,7,8,9\}$

Lưu ý rằng túi đã chứa tất cả các cạnh liền kề với  , vì vậy chúng ta không cần bao gồm đỉnh đó nữa. Tương tự, chứa tất cả các cạnh liền kề với  chưa có trong túi đầu tiên.$\{1,2,3,4\}$$1$$\{2,3,4,5\}$$2$