Sai lầm nhỏ về tính toán, độ phức tạp và ngôn ngữ?

Trong cuốn sách Tính toán, Độ phức tạp và Ngôn ngữ ( ấn bản lần ² ), Martin Davis viết trong chương 1 (Sơ bộ), phần 2 (Chức năng):

Một chức năng từng phần trên một tập hợp chỉ đơn giản là một hàm mà miền là một tập hợp con của . Một ví dụ về hàm một phần trên được đưa ra bởi , trong đó miền của là tập hợp các hình vuông hoàn hảo. $S$ $S$ $\mathbb{N}$ $g(n) = \sqrt n$ $g$

Cho đến nay thật đơn giản. Nhưng anh ấy đi trước và viết một vài dòng sau vào cuối phần:

Đôi khi chúng ta sẽ đề cập đến ý tưởng đóng cửa . Nếu là một tập hợp và là một hàm cục bộ trên , sau đó được đóng theo nếu phạm vi của là tập con của . Ví dụ: được đóng dưới , nhưng không được đóng dưới ( trong đó là hàm tổng trên ). $S$ $f$ $S$ $S$ $f$ $f$ $S$ $\mathbb{N}$ $f(n) = n^2$ $h(n) = \sqrt n$ $h$ $\mathbb{N}$

Vì vậy, trong trích dẫn đầu tiên trên là một ví dụ cho hàm một phần , trong khi trong trích dẫn thứ hai, hàm tương tự là một ví dụ cho hàm tổng . $\sqrt n$ $\mathbb{N}$

Cả hai ví dụ dường như mâu thuẫn với nhau. Hay tôi đang thiếu một cái gì đó liên quan đến việc đóng cửa ở đây?

mathematical-foundations

— Chúc ngủ ngon Nerd Pride
nguồn

Đây là một ví dụ xấu về chức năng một phần, bởi vì miền chỉ bị hạn chế bởi định nghĩa tùy ý . Một ví dụ tốt hơn về hàm một phần là f (x) = 1 / x , không xác định khi x = 0.

— Wildcard

@Wildcard: Làm thế nào là tùy tiện? không phải là một lựa chọn kỳ lạ cho phạm vi ..

N

$\mathbb{N}$

g (n)

$g(n)$

— MSalters

@MSalters, tuy nhiên đó là một sự lựa chọn như tùy ý .

— Chúc ngủ ngon Nerd Pride

@ GoodNightNerdPride: Nếu bạn sử dụng logic đó, không phải là một ví dụ tốt hơn, bởi vì có các phạm vi (ví dụ: dòng thực mở rộng dự kiến) trong đó cũng được xác định.

1 / x

$1/x$

— MSalters

@Wildcard Nó không độc đoán chút nào.

g

$g$ được định nghĩa là một hàm từ

N

$\mathbb{N}$ đến

N

$\mathbb{N}$ , đó là một đối tượng hoàn toàn tự nhiên. Hàm không được xác định ở một số vị trí nhất định vì, ví dụ: không có số tự nhiên

y

$y$ sao cho . Điều đó cũng giống như ví dụ của bạn: rất tự nhiên khi có một hàm từ đến và hàm bạn đã chọn không được xác định ở một số nơi vì, ví dụ, không có số thực như vậy rằng .

y^{2} = 2

$y^2=2$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

y

$y$

y \cdot 0 = 1

$y\cdot0=1$

— David Richerby

Câu trả lời:

Không có mâu thuẫn ở đây. Trường hợp đầu tiên xác định hàm một phần được cung cấp bởi Như văn bản nói, "miền của là tập hợp các hình vuông hoàn hảo." $g\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$

g (n) = {\begin{cases} x & if x \in N and x^{2} = n \\ undefined & if no such x exists. \end{cases}

$g(n) = \begin{cases} x &\text{if $x\in\mathbb{N}$ and }x^2=n\\ \text{undefined} &\text{if no such $x$ exists.} \end{cases}$

g

$g$

Trường hợp thứ hai xác định hàm tổng được cung cấp bởi Miền của là tập hợp tất cả các số tự nhiên. $h\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$

h (n) = x if x \in R_{\geq 0} and x^{2} = n .

$h(n) = x \quad \text{if }x\in\mathbb{R}_{\geq 0} \text{ and } x^2=n\,.$

h

$h$

Bạn nói rằng đây là cùng một chức năng, nhưng chúng không phải là. không xác định nhưng $g(2)$ $h(2)$ được định nghĩa (và bằng $\sqrt{2}$ ). $h$ liên kết một căn bậc hai với mọi số tự nhiên nhưng $g$ chỉ liên kết căn bậc hai với số tự nhiên là hình vuông hoàn hảo.

$\mathbb{N}$ được đóng dưới $g$ bởi vì, bất cứ khi nào $g$ được định nghĩa, $g(n)\in\mathbb{N}$ . $\mathbb{N}$ không bị đóng cửa dưới $h$ bởi vì, ví dụ, $2\in\mathbb{N}$ nhưng $h(2)\notin\mathbb{N}$ .

— David Richerby
nguồn

+1, mặc dù tôi nghĩ rằng cuốn sách bị lỗi khi sử dụng "

f

$f$ là một phần chức năng trên

S

$S$ "có nghĩa là"

f

$f$ là một phần chức năng từ

S

$S$ đến một số thiết lập ".

— ruakh

@ruakh Có gì sai với điều đó?

— David Richerby

Theo kinh nghiệm của tôi, trừ khi bạn rõ ràng thêm một công cụ sửa đổi như "giá trị thực" (để tên miền rõ ràng), một hàm trên một tập hợp là một hàm từ chính nó được đặt thành chính nó (tương tự như cách một mối quan hệ trên một tập hợp là một mối quan hệ từ đó thiết lập chính nó). Nhưng có lẽ đó không phải là một lỗi, và chỉ là một truyền thống thuật ngữ khác?

— ruakh

Trong ví dụ thứ hai, $h(n)$ được định nghĩa cho tất cả các số tự nhiên $n$ ; khi nào $n$ không phải là một hình vuông, $h(n)$ là một số lượng không hợp lý, và đặc biệt không phải là số tự nhiên.

Nói cách khác, tập hợp các số tự nhiên không được đóng khi lấy căn bậc hai: ví dụ: $\sqrt{2}$ không phải là một con số tự nhiên

— Yuval Filmus
nguồn

Xin lỗi, tôi nghĩ rằng tôi đã không đủ rõ ràng. Xin vui lòng xem đoạn 2 đến đoạn cuối tôi đã thêm vào câu hỏi của mình.

— Niềm tự hào Nerd chúc ngủ ngon

@ GoodNightNerdPride Tôi nghĩ Yuval hoàn toàn chính xác. Trong ví dụ đầu tiên, hàm căn bậc hai là một phần của

N

$\mathbb{N}$ đến

N

$\mathbb{N}$ ; trong ví dụ thứ hai, đó là một hàm tổng từ

N

$\mathbb{N}$ đến

R

$\mathbb{R}$ .

— David Richerby