Tương đương beta là gì?

Trong tập lệnh tôi hiện đang đọc trên phép tính lambda, tính tương đương beta được định nghĩa như sau:

Các $\beta$ -equivalence $\equiv_\beta$ là tương đương nhỏ nhất có chứa $\rightarrow_\beta$ .

Tôi không có ý tưởng gì đó có nghĩa. Ai đó có thể giải thích nó bằng các thuật ngữ đơn giản hơn? Có lẽ với một ví dụ?

Tôi cần nó cho một bổ đề theo định lý Church-Russer, nói rằng

$\equiv_\beta$↠ $\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

là mối quan hệ một bước giữa điều khoản trong λ -calculus. Mối quan hệ này không phải là phản xạ, đối xứng hoặc bắc cầu. Mối quan hệ tương đương ≡ beta là phản xạ, đối xứng, đóng bắc cầu của → beta . Điều này có nghĩa là$\to_\beta$$\lambda$$\equiv_\beta$$\to_\beta$

1. Nếu thì M ≡ beta M ' .$M\to_\beta M'$$M\equiv_\beta M'$
2. Đối với tất cả các điều khoản , M ≡ beta M nắm giữ.$M$$M\equiv_\beta M$
3. Nếu , sau đó M ' ≡ beta M .$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. $M\equiv_\beta M'$ , sau đó M ≡ beta M " .$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. là mối quan hệ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 1-4.$\equiv_\beta$

Xây dựng hơn, đầu tiên áp dụng quy tắc 1 và 2, sau đó lặp lại quy tắc và 4 cho đến khi chúng không thêm yếu tố mới nào vào mối quan hệ.$3$$4$

Đó là lý thuyết tập cơ bản thực sự. Bạn biết thế nào là quan hệ phản xạ, thế nào là quan hệ đối xứng và thế nào là quan hệ bắc cầu, phải không? Một mối quan hệ tương đương là một mối quan hệ thỏa mãn cả ba thuộc tính đó.

Bạn có thể đã nghe nói về "đóng cửa bắc cầu" của mối quan hệ ? Vâng, nó là gì, nhưng các quan hệ bắc cầu tối thiểu bao gồm R . Đó là những gì thuật ngữ "đóng cửa" có nghĩa là. Tương tự, bạn có thể nói về "đóng đối xứng" của mối quan hệ R , "đóng phản xạ" của mối quan hệ R và "đóng cửa tương đương" của mối quan hệ R theo cùng một cách.$R$$R$$R$$R$$R$

Với một số suy nghĩ, bạn có thể thuyết phục bản thân rằng việc đóng cửa bắc cầu của là R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ... . Độ đóng đối xứng là R ∪ R - 1 . Đóng cửa phản xạ là R ∪ I (trong đó tôi là quan hệ nhận dạng). $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

Chúng tôi sử dụng các ký hiệu cho tôi ∪ R ∪ R 2 ∪ ... . Đây là đóng bắc cầu phản của R . Bây giờ lưu ý rằng nếu R là đối xứng, mỗi quan hệ $R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$ , , R 2 , R 3 , ... là đối xứng. Do đó R * cũng sẽ là đối xứng.$R$$R^2$$R^3$$R^*$

Vì vậy, việc đóng cửa tương đương của là việc đóng cửa bắc cầu đóng cửa đối xứng của nó, tức là ( R $R$ . Điều này thể hiện một chuỗi các bước, một số trong đó là các bước chuyển tiếp ( R ) và một số bước lùi ( R - 1 ).$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

Mối quan hệ được cho là có tài sản Giáo Hội-Rosser nếu việc đóng cửa tương đương cũng giống như mối quan hệ hợp R * ( R - 1 ) * . Điều này thể hiện một chuỗi các bước trong đó tất cả các bước chuyển tiếp đến trước, tiếp theo là tất cả các bước lùi. Vì vậy, tài sản của Church-Rosser nói rằng bất kỳ sự xen kẽ nào giữa các bước tiến và lùi đều có thể được thực hiện tương đương bằng cách thực hiện các bước tiến trước và bước lùi sau.$R$$R^* (R^{-1})^*$